Dualité et forme quadratique

[Ben314]

2) a. On prouve déjà que est une base de , ensuite il faut montrer que c'est une base du dual de

Ca, ça ne va pas du tout : un truc ne peut pas être à la fois une base de R^3 (donc constituée de vecteurs) et être en même temps une base du dual (donc constitué de formes linéaires)

[Ncdk]

Ca, ça ne va pas du tout : un truc ne peut pas être à la fois une base de R^3 (donc constituée de vecteurs) et être en même temps une base du dual (donc constitué de formes linéaires)

Hum alors, si est une base duale de alors est une base de ?

[Ben314]

Je te l'ai déjà écrit (2 fois il me semble). La réponse à

2) b. Déterminer les composantes dans la base canonique B de de la base duale de , noté C.

est :
La matrice N est la matrice de passage de la base duale de la base canonique de R^3 à la base (l1,l2,l3) <- Dans ce qu'on écrit dans cette phrase, TOUT est dans le dual de R^3
Donc la matrice de passage de la base canonique de R^3 à la base duale de (l1,l2,l3) est C=(Nt)^{-1} <- Alors qu'ici, TOUT est R^3

[Ben314]

Hum alors, si est une base duale de alors est une base de ?

"...est une base duale de R^3" ne veut à peu prés rien dire (au mieux... c'est pas clair du tout...)
A remplacer par
"... est la base duale d'une base de R^2" (mais la phrase devient trés con...)
ou bien par
"... est une base du dual de R^3" (là, c'est O.K.)

[Ncdk]

"...est une base duale de R^3" ne veut à peu prés rien dire (au mieux... c'est pas clair du tout...)
A remplacer par
"... est la base duale d'une base de R^2" (mais la phrase devient trés con...)
ou bien par
"... est une base du dual de R^3" (là, c'est O.K.)

Parfait Donc du coup mon but est de d'exprimer en fonction des puis ensuite prouver que c'est une base de

[Ben314]

2) b. C'est la suite de ma précédente réponse, donc on inverse puis on "lit" la matrice obtenue et ces composantes forment une nouvelle base notée C.

Effectivement, une fois que tu as la matrice de passage de la base canonique de R^3 à la base duale de (l1,l2,l3) (qui est aussi une base de R^3), il suffit de "la lire" pour avoir les coordonnées des vecteur de la base duale de (l1,l2,l3).

[Ben314]

Parfait Donc du coup mon but est de d'exprimer en fonction des puis ensuite prouver que c'est une base de

Si est une base du dual de R^3) alors est une base de R^3 donc, si tu exprime par exemple en fonctions de trucs, c'est que les trucs, c'est des vecteurs de R^3 (par exemple en fonction des vecteurs de la base canonique de R^3).
Tu peut certes appeler tes vecteurs comme tu veut, mais d'appeler x1,x2,x3 les vecteurs de la base canonique de R^3, je crois que j'ai jamais vu ça (et ça me semble archi hyper pas malin comme notation).

Tu as déjà vu quelque part "Soit x1=(1,0,0) ; x2=(0,1,0) et x3=(0,0,1)" toi ?

[Ncdk]

Si est une base du dual de R^3) alors est une base de R^3 donc, si tu exprime par exemple en fonctions de trucs, c'est que les trucs, c'est des vecteurs de R^3 (par exemple en fonction des vecteurs de la base canonique de R^3).
Tu peut certes appeler tes vecteurs comme tu veut, mais d'appeler x1,x2,x3 les vecteurs de la base canonique de R^3, je crois que j'ai jamais vu ça (et ça me semble archi hyper pas malin comme notation).

Tu as déjà vu quelque part "Soit x1=(1,0,0) ; x2=(0,1,0) et x3=(0,0,1)" toi ?

Ah mais attends, en fait les c'est la base canonique non ? ^^

[Ben314]

Ah mais attends, en fait les c'est la base canonique non ? ^^

Ben non, vu que si c'était le cas, ça voudrait dire que où .
Donc non, c'est une bête base de R^3, pas canonique du tout...

Et on sait même laquelle c'est : tu as écrit les composantes de ces 3 vecteurs à voir la fin de ton post de 16h25.

[Ncdk]

Ben non, vu que si c'était le cas, ça voudrait dire que où .
Donc non, c'est une bête base de R^3, pas canonique du tout...

Et on sait même laquelle c'est : tu as écrit les composantes de ces 3 vecteurs à voir la fin de ton post de 16h25.

En fait j'ai répondu à deux questions dans une seule. C'est pour ça que je comprenais pas où je devais aboutir. J'avais cette impression de tourner en rond.

En fait oui c'est bon, c'est mon inattention, j'ai pas noté mes résultats sur une feuille :marteau:

Je te l'ai déjà écrit (2 fois il me semble). La réponse à
Citation:
Posté par Ncdk
2) b. Déterminer les composantes dans la base canonique B de R^{3} de la base duale de (l_1,l_2,l_3), noté C.
est :
La matrice N est la matrice de passage de la base duale de la base canonique de R^3 à la base (l1,l2,l3) <- Dans ce qu'on écrit dans cette phrase, TOUT est dans le dual de R^3
Donc la matrice de passage de la base canonique de R^3 à la base duale de (l1,l2,l3) est C=(Nt)^{-1} <- Alors qu'ici, TOUT est R^3

Je ne vois pas à quoi ressemble N, je pense que si tu me donnes la matrice, je vais voir directement comment tu l'as trouvé, car c'est pas la même que j'ai noté D précédemment ?

[Ben314]

Oui : il y a pas mal de posts ou je l'ai appelée N et c'est ta matrice D, par exemple celui là :

...la base (f1,f2,f3) où f1(x)=x1 ; f2(x)=x2 et f3(x)=x3 lorsque x=(x1,x2,x3)
... d'écrire l1=f1+f2+f3... que l1 a pour coordonnées (1,1,1) dans la base (f1,f2,f3) et c'est de là que sort en fait ta matrice N (qui est la matrice de passage de (f1,f2,f3) à (l1,l2,l3))

où il faut lire D.

[Ncdk]

Oui : il y a pas mal de posts ou je l'ai appelée N et c'est ta matrice D, par exemple celui là :
où il faut lire D.

Oui enfin lire

[Ben314]

Les noms, on s'en fout, mais en tout cas, cette matrice là :

c'est (du verbe être) la matrice de passage de la base duale de la base canonique de R^3 à la base (l1,l2,l3) (les deux bases sont des bases du dual de R^3)

Alors que celle là

c'est la matrice de passage de la base canonique à la base duale de (l1,l2,l3) (les deux bases sont des bases de R^3), c'est à dire celle dont la lecture des différentes colonnes te donne la base C de la question 2)b.

[Ncdk]

Super merci, merci pour toute l'aide fournit :)

Je vais pouvoir maintenant travailler de mon côté concernant la dualité, je suis très ignorant sur ce domaine, c'est un peu le seul cours qu'on a pas eu les bases, malheureusement :(

[Ben314]

Je suis pas sûr d'avoir été super clair... :triste:

[Ncdk]

Si c'est bon, en fait j'ai compris, c'était juste que l'exercice ressemblait pas aux anciens que j'ai fait, ou par exemple on me donner 3 applications donc f1, f2, f3 qui sont des applications de dans R.

Il fallait montrer que f1, f2, f3 forment une base de

Donc là c'était assez immédiat, on a la matrice de f1, f2, f3 dans la base x1,x2,x3 c'était donné dans l'énoncé, ensuite il fallait transposé cette matrice puis l'inverser et on obtenait notre base que l'on cherchait, j'ai l'impression que l'exercice que je dois faire là est différent, il est moins évident en fait, donc je comprenais pas, puis à force c'est rentrer, c'est la formulation des questions qui m'ont embêté