Salut, (je rallonge le post au fur et a mesure...)
1)b. : Il y a effectivement beaucoup plus rapide. Tu dit :
Considérons (tout à fait par hasard... :zen:) la fonction
=(x_1+x_2+x_3)(y1+y2+y3)+3(x_1-x_2)(y1-y2))
On vérifie que c'est une forme bilinéaire symétrique (facile, mais... à justifier quand même) et que,
miraculeusement... f(x,x)=q(x).
Comme on sait qu'il n'y a qu'une seule forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique
, celle associée à
ne peut être que
.
1)c. Avec la définition, c'est très simple et très rapide (rang =2 ; noyau de dim 1 engendré par (1,1,-2))
2)a.
"Si je montre que l_1,l_2,l_3 forme une base, alors l_1,l_2,l_3 est une base du duale, cela suffit à dire ?"Déjà, ça veut pas dire grand chose tel quel.
- Au mini, pour que ça ait du sens, il faudrait écrire :
"Si l_1,l_2,l_3 est une base du dual de R^3, alors l_1,l_2,l_3 est la base duale d'une certaine base de R^3"- Si le but, c'est de montrer (donc d'avoir comme
conclusion) que l_1,l_2,l_3 est une base du dual de R^3, alors, c'est clairement la réciproque que tu risque d'utiliser, à savoir :
"Si l_1,l_2,l_3 est la base duale d'une certaine base de R^3 alors l_1,l_2,l_3 est une base du dual de R^3"- Vu que tu connais déjà une base simple du dual de R^3, à savoir la base duale de la base canonique, c'est à dire celle formée des trois formes linéaires f1:x->x1 ; f2:x->x2 ; f3:x->x3 (où x=(x1,x2,x3)), le plus simple à mon avis, c'est d'exprimer tes trois formes en fonction de ces 3 là pour montrer que tes 3 formes constitue une base.
2b. Ta matrice D, c'est justement la matrice qui donne les coordonnées de l1, l2, l3 dans la base f1,f2,f3 (c.f. çi dessus) et c'et le fait que cette matrice soit inversible (donc sa transposée aussi) qui prouve que l1,l2,l3 est une base du dual de R^3.
Aprés, le calcul que tu fait pour trouver la base (l1',l2',l3') de R^3 qui a pour base duale (l1,l2,l3) est correct, mais j'ai l'impression que ton inverse est fausse (le produit de D^t par ton truc ne fait pas I3) : j'ai l'impression que c'est uniquement le 1 en bas à gauche qui devrait être un -1.
Ncdk a écrit:
ensuite
et pour finir
Ca, ç'est franchement pas clair ce que ça veut dire : c'est quoi les x'1, x'2, x'3 ?
l1, l2, l3 sont des fonctions de R^3 dans R, mais l1',l2',l3' eux, ce sont des vecteurs et le calcul que tu as fait, il montre que, par exemple,
où e1,e2,e3 est la base canonique de R^3, c'est à dire, encore plus simplement, que
)
Ncdk a écrit:=\frac{1}{2}x'_1 + \frac{1}{2}x'_2)
ensuite
=\frac{1}{2}x'_1 -\frac{1}{2}x'_2)
et pour finir
=\frac{1}{2}x'_1 + \frac{1}{2}x'_2 -x'_3)
.
Idem : ça veut encore moins dire grand chose. Vu que l'1 est un vecteur, je vois pas bien ce que peut signifier l'1(1,0,0).
La matrice qu'on te demande de calculer, c'est (par définition) celle qui contient les
)
pour
et elles est "triviale" à calculer vu que
=l_1(x)l_1(y)-3l_2(x)l_2(y))
et que, par définition de la notion de base duale,
=\left\{\matrix{1\text{ si }i=j\cr0\text{ sinon }}\right.)
(c'est une façon "pédante" de dire que le vecteur
a toutes ces coordonnées nulles sauf la j-ième qui vaut 1 dans la base
)
)
?