Division Euclidienne : Polynômes

par **psp** » 23 Fév 2013, 16:37

Bonjour :

Pouvez vous m'aider à réaliser une division euclidienne ?

J'arrive à faire par exemple

(x^3 -3x + 2)/(x-1) : Je me pose la question : Par combien de fois dois-je multiplier x pour obtenir x^3, puis je retiens x^2 (x-1) Ainsi il me reste x^2-3x+2 -> Je retiens x(x-1) , il me reste -2x + 2 , -> Je retiens -2(x-1), il me reste 0 et j'obtiens finalement x^2 + x - 2.

Mais je n'arrive pas à faire celle çi :

x^4 + 4x / (x^4 - 2x^2 + 1)

Une piste pour commencer ?

par **leon1789** » 23 Fév 2013, 17:03

en x^4, combien de fois x^4 ?

par **psp** » 23 Fév 2013, 17:05

1 Fois ! (f*ck yeah i did it)

par **psp** » 23 Fév 2013, 17:08

Mais l'étape suivante, faut il bien faire "combien de fois x^4 dans 2x^2 ?"
J'ai besoin d'aide pour la suite

par **leon1789** » 23 Fév 2013, 17:09

d'où ton résultat : ....

par **leon1789** » 23 Fév 2013, 17:09

bonne question ! :marteau: c'est quoi la définition de la division euclidienne ?

par **psp** » 23 Fév 2013, 17:17

Je ne vois pas où tu veux en venir, je te demandes comment procéder pour l'étape d'après, je ferai tout seul pour le reste, merci !

par **leon1789** » 23 Fév 2013, 17:32

psp a écrit:Je ne vois pas où tu veux en venir, je te demandes comment procéder pour l'étape d'après, je ferai tout seul pour le reste, merci !

Moi, je sais où il faut en venir... d'où ma demande la définition.
A moins que tu préfères ne pas comprendre le début du b-a-ba sur la division. C'est comme tu veux.

par **psp** » 23 Fév 2013, 17:48

La division euclidienne de A par B retourne le nombre de fois que A contient B et le reste ; Pour les polynômes il faut décomposer la division entre les monômes non ?
Maintenant que tu le dis c'est vrai que j'ai besoin d'un éclairage sur tout ça

par **leon1789** » 23 Fév 2013, 17:52

psp a écrit:La division euclidienne de A par B retourne le nombre de fois que A contient B et le reste ;

ok, disons A = B . Q + R
où Q est le quotient ("le nombre de fois" comme tu dis)
et R le reste.
Mais ce n'est pas tout : il y a une condition sur le reste. Tu la vois ? ici

psp a écrit: Pour les polynômes il faut décomposer la division entre les monômes non ?
Maintenant que tu le dis c'est vrai que j'ai besoin d'un éclairage sur tout ça

Je pense que tu as presque compris la démarche mais qu'il te manque un petit truc (que tu ne vas pas tarder à réaliser). Cela dit ce petit truc est très important (maintenant pour toi sur cet exo simple, mais aussi à l'avenir, tu verras).

par **psp** » 23 Fév 2013, 18:23

Le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur ?

par **leon1789** » 23 Fév 2013, 18:27

psp a écrit:Le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur ?

oui, en effet,
et là, tu vois quoi comme degré pour x^4 et 2x^2 ? :lol3:

par **psp** » 23 Fév 2013, 18:33

La condition est respectée, pour atteindre 2x^2 à partir de x^4, je dois multiplier par 2/x^2, mais je doûte que ça soit la bonne méthode...c'est là ou je coince

par **leon1789** » 23 Fév 2013, 18:52

psp a écrit:La condition est respectée, pour atteindre 2x^2 à partir de x^4, je dois multiplier par 2/x^2, mais je doûte que ça soit la bonne méthode...c'est là ou je coince

Il n'y a pas un multiplier par 2/x^2 (qui n'est pas un polynôme !)

Quels sont les degrés de 2x^2 et x^4 ?

par **psp** » 23 Fév 2013, 18:59

leon1789 a écrit:Il n'y a pas un multiplier par 2/x^2 (qui n'est pas un polynôme !)

Quels sont les dégrés de 2x^2 et x^4 ?

Degré : 2x^2 : 2
Degré x^4 : 4

par **leon1789** » 23 Fév 2013, 19:01

psp a écrit:Degré : 2x^2 : 2
Degré x^4 : 4

oui, et tu es d'accord que 2 est strictement inférieur à 4 :lol3:

Pour l'instant, tu as écrit : (x^4 + 4x) = 1 .(x^4 - 2x^2 + 1) + 2x^2 + 4x -1

Comme tu as dit, le degré de (x^4 - 2x^2 + 1) est 4
et le degré de 2x^2 + 4x -1 est 2

Comme tu as dit aussi, le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur (qui est ici 4)
donc tu vois le reste, qui est...

par **leon1789** » 23 Fév 2013, 19:11

psp a écrit:Degré : 2x^2 : 2
Degré x^4 : 4

oui, et tu es d'accord que 2 est strictement inférieur à 4 :lol3:

Résumons : tu as calculé (x^4 + 4x) = 1 .(x^4 - 2x^2 + 1) + 2x^2 + 4x -1

Comme tu as dit, le degré de x^4 - 2x^2 + 1 est 4
et le degré de 2x^2 + 4x -1 est 2

Comme tu as dit aussi, le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur (qui est ici 4)
donc tu vois le reste, qui est...
et le quotient qui est ...

par **psp** » 23 Fév 2013, 19:31

leon1789 a écrit:oui, et tu es d'accord que 2 est strictement inférieur à 4 :lol3:

Résumons : tu as calculé (x^4 + 4x) = 1 .(x^4 - 2x^2 + 1) + 2x^2 + 4x -1

Comme tu as dit, le degré de x^4 - 2x^2 + 1 est 4
et le degré de 2x^2 + 4x -1 est 2

Comme tu as dit aussi, le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur (qui est ici 4)
donc tu vois le reste, qui est...
et le quotient qui est ...

Le reste est : 2x^2 + 4x - 1
Le quotient est 1

La division euclidienne de x^4 + 4x par x^4 -2x^2 +1 donne Quotient + Reste/Diviseur; soit

1 + (2x^2+4x-1)/(x^4-2x^2+1)

par **leon1789** » 23 Fév 2013, 19:49

voilà :lol3:

par **psp** » 23 Fév 2013, 19:52

Merci beaucoup :)))

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