Division euclidienne de polynômes

[psp]

Bonsoir,

J'essaie de trouver une méthode permettant de déterminer le reste de la division euclidienne d'un polynôme par un autre.

Ce que mon cours dit :

Soit et , Donc tel que P = Q.B + R pour deg(R)2000)

[mr_pyer]

Une bonne méthode pour trouver le reste c'est de remplacer par les racines du diviseurs dans l'égalité , tu te rerouves alors avec ...

[deltab]

Bonsoir.

[quote="psp"]Soit et , Donc tel que P = Q.B + R pour deg(R)2000.

[mr_pyer]

Ce serait plutôt les racines du diviseurs

Pour moi le diviseur c'est et pour toi c'est ça revient au même...

P.S. : Désolé pour le double poste je ne sais pas si c'est le forum ou ma connexion...

[mr_pyer]

Pour toi c'est le diviseur, pour moi c'est on dit la même chose.
En général c'est le quotient mais moi ça me gène pas.

[psp]

Ouiiiiii je vais essayer merci beaucoup :))

[Losange]

Il y a plus simple : l'algorithme de la division euclidienne sur les entiers s'adapte facilement au calcul sur les polynômes.

Algorithme :
On pose B=0
et R= P

Tant que faire :
Trouver le monôme M tel que R et MQ ont le même monôme dominant.
Affecter (B,R)=(B+M,R-MQ).
Fin de "tant que".
Renvoyer B et R.


Exemple : et

Premier passage dans la boucle :




Deuxième passage dans la boucle :




Troisième passage dans la boucle :




A là fin, on a :

[mr_pyer]

Oui, mais par exemple si je te demande le reste de la division euclidienne de par je doute que cette méthode fonctionne. Inutile de s'embêter à calculer le quotient si on demande juste le reste...

[psp]

mr_pyer j'aime bien ta méthode je retombe sur mes pattes avec, (finalement les valeurs qu'avait choisi mon prof étaient les racines du quotient mais il ne l'as pas dit donc merci maintenant je sais)

Par contre as tu un moyen fiable de connaitre le degré de R ?
J'imagine qu'il est fonction du nombres de racines de Q, sachant que si R est de degré 4 il faut un système de 4 lignes (donc Q doit au moins avoir 4 racines) puisque le reste est unique, peux tu confirmer ?

[mr_pyer]

C'est bizarre que ton prof n'est pas précisé que l'on teste en prenant les racines de (j'ai du mal à m'y faire avec pour le diviseur :mur:), t'es sûr que tu écoutais à ce moment là :lol3: ?

Sinon tu dois savoir que donc tu le connais le degré.

Pour le nombre d'équation, tu en auras tout juste assez puisque que à (multiplicité comprise) exactement racines.
Parfois il peut arriver qu'il y ait des racines multiples, dans ce cas il faut dériver l'égalité et re-remplacer par la racine multiple. (j'espère ne pas t'avoir perdu je te donnerai un exemple s'il faut)

[psp]

C'est bizarre que ton prof n'est pas précisé que l'on teste en prenant les racines de (j'ai du mal à m'y faire avec pour le diviseur :mur:), t'es sûr que tu écoutais à ce moment là :lol3: ?

Sinon tu dois savoir que donc tu le connais le degré.

Pour le nombre d'équation, tu en auras tout juste assez puisque que à (multiplicité comprise) exactement racines.
Parfois il peut arriver qu'il y ait des racines multiples, dans ce cas il faut dériver l'égalité et re-remplacer par la racine multiple. (j'espère ne pas t'avoir perdu je te donnerai un exemple s'il faut)

Peux tu avec

1 et -1 sont dont racine doubles
Et si j'écoutais mais c'était la fin du cours le prof est allé super vite et puisqu'on a controle de 20 minutes chaque semaine je préfère être au point

[mr_pyer]

Et si j'écoutais mais c'était la fin du cours le prof est allé super vite et puisqu'on a controle de 20 minutes chaque semaine je préfère être au point

Oui ça arrive parfois...

(je te laisse écrire les quantificateurs)
doit être de degré inférieur ou égal à 3.
Avec tu as deux équations.
Dérive l'égalité juste au dessus et remplace de nouveau pas et tu en auras deux autres... (la partie on est pas obligé de la dériver puisque ça vaudra en après mais bon).

[psp]

Oui ça arrive parfois...

(je te laisse écrire les quantificateurs)
doit être de degré inférieur ou égal à 3.
Avec tu as deux équations.
Dérive l'égalité juste au dessus et remplace de nouveau pas et tu en auras deux autres... (la partie on est pas obligé de la dériver puisque ça vaudra en après mais bon).

Donc j'ai :

R(1) = 3
R(-1) = 1

Quand je dérive j'obtiens



Je trouve trois racines : {}

R'(0) = 0
R'(1) = 2015
R'(-1) = -2009


Je pose


J'ai donc :





Est ce que je suis à côté de la plaque ?

Si j'ai bien compris deg R <= deg Q - 1
Donc pour l'identification je pose d'abord R de degré (deg(Q) - 1)

[mr_pyer]

Ça m'a l'air bien.

Edit : Je te fais confiance pour le système. Pour le 0 tu n'en a pas vraiment besoin puisque tu n'as que 4 inconnues. Mais c'est bien de l'avoir vu ça permet de trouver directement .

[deltab]

Bonsoir.

Pour toi c'est le diviseur, pour moi c'est on dit la même chose.
En général c'est le quotient mais moi ça me gène pas.

Dans l'énoncé, il y a eu une intervention de notations

Soit et , Donc tel que P = Q.B + R pour deg(R)<n .

Ici Q(x) est bien le diviseur et B(x) le quotient (le diviseur est supposé connu (ici Q) et on cherche le quotient et le reste (ici B et R).

Autre remarque, si B est supposé connu, on a alors directement R(X)=P(X)-B(X)Q(X), pourquoi chercher les racines de B(X) problème beaucoup plus compliqué que de faire le produit et la différence de 2 polynômes.

[mr_pyer]

Oui l'énoncé inverse les notations standard. Je ne l'avais pas vu dans mon premier poste mais je l'avais remarqué depuis.

Autre remarque, si B est supposé connu, on a alors directement R(X)=P(X)-B(X)Q(X), pourquoi chercher les racines de B(X) problème beaucoup plus compliqué que de faire le produit et la différence de 2 polynômes.

Le truc c'est que le quotient (ici noté B) est beacoup plus difficile à obtenir que le reste.
L'exemple que je donne au dessus (avec ), on calcule le reste en 30 secondes chrono, alors que le quotient... je ne sais même pas s'il est calculable...

[deltab]

Bonjour.

Peut-être via une relation de récurrence.

[Ben314]

Ou en écrivant simplement B=(P-R)/Q...

[deltab]

Bonsoir.

Ou en écrivant simplement B=(P-R)/Q...

Oui, on peut se suffire de cette expression de B, mais trouver l'expression polynomiale de B c'est autre chose bien qu'on sache que P-R est divisible par Q.

[Ben314]

Perso, je disais ça en pensant "trés fort" à qui est plus court à écrire (et aussi souvent plus simple à manipuler) sous cette forme que sous la forme ...

Aprés, concernant par exemple la division de , par , tu peut remplacer la division par une multiplication par et, si tu ne garde dans le produit que les termes en avec , ça te donne le quotient de la division (les termes en avec correspondant évidement à où est le reste de la division.)