Division euclidienne de polynomes

[aure7895]

Bonjour à tous,

J'ai un probleme avec un exercice concernant la division euclidienne de polynomes. L'exercice est le suivant :

Soit n un entier naturel non nul et A appartenant à R[X] défini par :
A = (X-2)^(2n) + (X-1)^n - 2
Trouver le reste de la division euclidienne de A par B = (X-1)².
Meme question pour la division par C = (X-1)²(X-2).


J'ai tout d'abord chercher une relation de récurrence mais sans succès ...
J'ai donc dit que le reste R est de degré inférieur à celui de B; donc R est de la forme aX+b mais je ne vois pas comment faire apres et je ne trouve pas de racine évidente pour A.


Merci d'avance pour votre aide,

Aurélie

[XENSECP]

hum, tu as essayé de la posé, pour trouver une relation c'est ça ?

Hum si tu écris A=QB+R et que tu remarque que 1 est une racine d'ordre 2 de B, ça t'avance ? (perso moi oui...)

[aure7895]

oui c'est ça j'ai d'abord essayer de la poser mais sans trouver de relation explicite.

J'ai donc posé comme tu l'as dit. Par contre je ne vois pas pour l'instant en quoi cela m'avance de savoir que 1 est racine d'ordre 2 de B. Je vais refaire un petit tour dans mon cours, j'ai du louper qqch :s

[aure7895]

cela voudrait dire que c'est divisible par (X-1) c'est ça ?

[XENSECP]

Hum applique ma relation en 1 déjà pour trouver une relation entre a et b ;)
ensuite si tu vois pas je te donnerais la deuxième ^^

[aure7895]

désolée j'etais partie manger !

j'ai rien compris a ce que tu m'as dit :triste:

j'ai remplacer X par 1 et je trouve : A(X=1) = 0*((X-1)²) + (-1)
c'est ça que tu m'as dit de faire ?? :hum:

[XENSECP]

Bon R(X)=aX+b ok ?

Alors applique avec X=1, A(X)=B(X)*Q(X)+R(X) , pour trouver une relation sur R

NB : Q tu ne l'as pas et le cherche pas

[aure7895]

oui r(X)=aX+b nous sommes d'accord :)

en fait j'etais partie de ça mais apres j'ai bloqué pour je ne sais quelle raison. :stupid_in

Bref : je trouve comme relation a=-1-b

[aure7895]

ou plutot ecrire b=-1-a comme ça on a R(X)= aX -1-a ?

[XENSECP]

Bien ! Maintenant essaye de dériver mon équation ;) Simplement en littéral pour l'instant (avec A(X),B(X) etc.., pas les remplacer quoi) et dis moi ce que tu vois (c'est dû au fait que B admette 1 comme racine d'ordre 2) quand tu fais X=1 ;)

[aure7895]

en dérivant j'ai donc :
A'(X) = B'(X)Q(X) + B(X)Q'(X) + R'(X)

avec X=1, on obtient :
A'(1)= R'(1) => -2n = a

[aure7895]

donc on a : R(X) = -2nX + (-1+2n) c'est cela ??

[XENSECP]

ba oui :)
tu peux essayer avec n=1 ou 2 (voir 3) si tu veux vérifier la relation ^^

Edit : pour n>1 car sinon le deuxième terme de A ne s'annule pas en dérivant ;)

[aure7895]

alors là tu vas me tuer ... :arme:
Je trouve que la relation est bonne que avec n=2.

Avec n=1, j'obtiens A= X² - 3X + 1 et B= X²-2X +1
d'où : A=B - X

et n=3 je n'en parle meme pas ... je trouve comme reste : -259X+135 (j'ai du enchainer les erreurs de calculs !!! )

[aure7895]

c'est bien ce que je pensais c'est bouré de fautes :stupid_in

[XENSECP]

pour n=1 tu peux pas je t'ai dit ;) le reste c'est simplement -X :-)

[aure7895]

oui oui dsl j'avais pas encore vu ta réponse quand j'ai repondu !!
par contre je n'ai pas trop compri la justification ...

et pour n=3 je suis en pleine division :zen:

[aure7895]

pf j'abandonne lool !

bref donc je suppose que pour diviser par C, on procède de la meme facon.

Merci bcp XENSECP de m'avoir aider. J'espere que par la suite je trouverai tte seule la méthode a appliquer :dingue:

[aure7895]

juste une derniere petite question :
peut on exprimer le reste en fonction de Q(2) aussi ou faut il le calculer par je ne sais quel moyen ??

Merci bcp !! :we:

[XENSECP]

j'ai pas compris ta dernière question :S