Division euclidienne de polynômes

[MacManus]

Bonjour

Pour tout couple (a,b) de réels et pour tout x réel, on définit une fonction polynômiale P de la manière suivante : P(x)=a+bx
Je cherche à calculer le reste Rn(x)de la division euclidienne de (P(x))^n par x^2 -1, pour tout entier n supérieur ou égal à 2.

Je ne parviens pas à calculer ce reste... j'ai utiliser la formule du binôme de Newton pour développer l'expression (a+bx)^n , mais je ne sais pas comment m'y prendre ensuite pour effectuer la division.

Merci pour votre aide

[Ericovitchi]

Commences par poser
Réfléchir au degré de Q et de R et à des valeurs particulières qu'ils peuvent prendre, et ça te fera avancer.

[MacManus]

Merci je vais y réfléchir. Je pense que tu voulais mettre Q(x) à la place de P(x) ?

[Ericovitchi]

oui excuses. effectivement P est déjà utilisé donc :

et par exemple R(x) est de degré ... ?
et prends quelles valeurs pour x=1 et -1 ?

[MacManus]

Le degré de R doit être strictement inférieur au degré de B, donc deg(R)= 0 ou 1.

[MacManus]

On a également :
R(1)= (a+b)^n
R(-1)=(a-b)^n

[Ericovitchi]

Donc déjà tu connais R(x) puisqu'il est de degré 1 et que tu connais 2 de ses valeurs.

On ne te demandait que le reste ? on ne demandait pas Q ?
Donc en fait tu as pratiquement terminé ton exercice

[Nightmare]

Salut,

sinon tu peux donner le reste de X^k par X²-1 selon les valeurs de k puis utiliser l'expression de (P(x))^n dans la base canonique (binôme de Newton)

[MacManus]

Mais comment savoir si R(x) est de degré 1 ou 0 ??
(On demande de calculer le reste uniquement oui)

[MacManus]

Ok j'ai compris pourquoi le degré de R est 1 merci

[MacManus]

Merci Ericovitchi. J'ai trouvé que le reste Rn(x) est défini par :
1/2((a-b)^n-(a+b)^n) + 1/2((a-b)^n+(a+b)^n)x
:++: