par Ben314 » 11 Fév 2017, 17:14
Oui, tu as raison, concernant le début de la question, il faut effectivement justifier que de faire la division de P par Q dans Q[X] ou dans C[X], ça donne bien le même résultat et ta preuve est tout à fait correcte (unicité du résultat).
Par contre, Q[X] et plus généralement K[X], ce n'est pas du tout un corps mais uniquement un anneau (intègre et commutatif) : dans un corps, par définition, tout élément non nul doit admettre un inverse, c'est à dire que, quelque soit A non nul, il doit exister B tel que AB=1 (on montre alors que B est unique et il est appelé "l'inverse de A")
Et avec des polynômes, il est clair que par exemple (X+2) fois n'importe quel autre polynôme, ben ça fera jamais 1.
De la même façon, Z c'est pas un corps vu que 2 fois un entier quelconque, ça peut pas faire 1.
Et ça amène naturellement à une question archi naturelle : quels sont les entiers (relatifs) inversibles ?
Et les polynômes de K[X] inversibles ?
P.S. Et si ça t'intéresse (et en espérant ne pas t'embrouiller...), de la même façon que Z n'est pas un corps, mais qu'on peut fabriquer facilement un corps qui contient Z, à savoir Q on peut aussi fabriquer un corps qui contient K[X], à savoir l'ensemble des fraction rationnelles en X, c'est à dire des "trucs" de la forme P(X)/Q(X) où P(X) et Q(X) sont deux polynômes.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius