Diviseurs de zéro

par **Aldebaran** » 22 Aoû 2005, 17:41

:ptdr: Bonjour à tous :ptdr:
J'ai besoin d'un petit coup de main sur ce point :

Soit

un anneau non réduit à

. Soit

un élément non nul de

. On dit que

est un diviseur de zéro s'il existe

dans

, non nul tel que

ou

.

Là j'avoue que je suis perdu...

et

sont tous deux non nuls et pourtant le produit des deux peut être nul ???

J'ai l'impression que plus je progresse dans ma lecture et plus je m'enfonce dans la vase des tréfonds de la bassesse de mon esprit obtus et de mon intelligence simiesque... ! :briques:

par **N_comme_Nul** » 22 Aoû 2005, 17:48

Salut !

Pense à

par exemple :

Tu as

et

... et pourtant :
[CENTER]

[/CENTER]

par **Aldebaran** » 22 Aoû 2005, 18:41

Justement, j'ai un problème pour saisir le sens de cette notation :

. C'est à dire qu'en fait mon problème est que je ne comprends pas bien la notion de groupe quotient (même si je connais la définition par coeur). Je crois qu'en fait j'ai besoin d'exemples... les cours dont je dispose sont tellement abstraits !!!

par **N_comme_Nul** » 22 Aoû 2005, 18:44

Salut !

Y a pas trop longtemps, j'avais répondu à un post, qui traite à peu près de ce que tu veux :
[CENTER]Ici [/CENTER]

(Je sais, j'me foule pas ... :euh: )

Ajout : Si tu veux, tu peux noter, plus simplement

l'ensemble des classes d'équivalence modulo

, et "masquer" ainsi un peu la notation qui révèle une structure de groupe quotient.

par **Alpha** » 22 Aoû 2005, 18:54

Salut, N comme Nul, si Aldebaran pose cette question, il est peu probable qu'il connaisse Z/nZ, puisque Z/nZ se voit en Maths Spé alors que les généralités sur les anneaux se voient en Maths Sup.

Ce qu'il faut comprendre, Aldebaran, c'est que l'anneau A ne fonctionne pas forcément comme le corps des réels R ou celui des complexes C. D'ailleurs, ces derniers sont des corps, alors que A est un anneau.

En fait, dans ce que tu donnes, Aldebaran, on pose la définition d'un anneau, mais rien dans la définition de l'anneau ne permet de dire s'il a ou non des diviseurs de 0. Tu rencontreras pas la suite des anneaux qui ont des diviseurs de 0. Il faut prendre ces définitions pour ce qu'elles sont : des définitions : la structure d'anneau est définie ainsi, et ensuite tu verras des exemples qui prouveront qu'un anneau peut avoir des diviseurs de 0.

En fait, si, à partir de la seule définition de l'anneau, tu n'arrives pas à prouver qu'un anneau ne peut avoir de diviseurs de 0, tu n'as aucune raison d'être étonné qu'un anneau puisse avoir des diviseurs de 0 !!!

Il ne faut pas que tu raisonnes par comparaison avec des ensembles comme R ou C, car ces ensembles, justement, n'ont pas de diviseurs de 0. Cela est "écrit" dans leur structure même.

En gros, ce sont les structures qui caractérisent les ensembles, et pas les ensembles qui caractérisent les structures.

:happy3:

par **Aldebaran** » 22 Aoû 2005, 19:12

:jap:Et bien je vous remercie à tous les deux pour cet éclairage... mais je crois qu'il va falloir que je continue encore à creuser un peu !!!

par **Alpha** » 22 Aoû 2005, 19:33

Pour enfoncer le clou :

Pourquoi, si a et b sont deux réels,

implique-t-il

ou

? Parce que c'est comme ça ???

Non! En fait, c'est parce que, par définition, R est un corps, et qu'un corps est un anneau commutatif dont tous les éléments non nuls sont inversibles. C'est ainsi que R est construit. La définition de R ne contient pas seulement le fait que c'est un corps, mais c'est une des choses que vérifie R. On a dit : on a envie de construire un ensemble qui est un corps, qui vérifie ça, ça, et puis ça, et cet ensemble, on l'appelle R.

Par exemple, supposons

et

des réels tels que

différent de

et

. Alors

étant non nul, il est inversible d'inverse

(ce que l'on note

pour les réels),

Donc

implique

donc

.

par **mathador** » 22 Aoû 2005, 19:57

(il me fait encore vibrer ... notez la question qu'il se pose à lui-même, et à laquelle il répond (encore heureux!) ... mon ami, tu seras prof ou rien !!! - non, ça revient pas au même- )

EDIT ALPHA : En plus, cher Mathador, tu es un Humourador !

par **Galt** » 22 Aoû 2005, 20:10

Dans les aneaux de matrices, il y a des diviseurs de zero
Ou alors, l'anneau des fonctions de N dans N , avec l'addition et la multiplication comme opérations :j'appelle

la fonction nulle pour les nombres pairs et égale à 1 pour les nombres impairs, et

la fonction nulle pour les nombres impairs et égale à 1 pour les nombres pairs. Leur produit

est la fonction nulle alors que ces fonctions ne sont pas (identiquement) nulles.
Un aneau où il n'y a pas de diviseurs de zéro est un aneau intégre

par **gamecuber** » 22 Aoû 2005, 22:31

Bonjour à tous,

"Galt" a écrit:Un aneau où il n'y a pas de diviseurs de zéro est un aneau intégre

Je crois qu'il est aussi nécessaire que l'anneau soit commutatif.

a+

par **Alpha** » 23 Aoû 2005, 07:47

Bonjour,

Un anneau intègre est un anneau commutatif différent de

et qui n'a pas de diviseurs de

.

Pour compléter l'exemple de Galt, on peut penser à l'anneau des fonctions réelles.

Je définis

ainsi :

,

et

ainsi :

,

Il est clair que le produit

de ces deux fonctions est nul. Pourtant, aucune des deux n'est la fonction nulle. L'anneau des fonctions de R dans R a donc des diviseurs de 0. Par conséquent, il n'est pas intègre.

par **Anonyme** » 23 Aoû 2005, 17:54

Alpha a écrit:Salut, N comme Nul, si Aldebaran pose cette question, il est peu probable qu'il connaisse Z/nZ, puisque Z/nZ se voit en Maths Spé alors que les généralités sur les anneaux se voient en Maths Sup.

Ce qu'il faut comprendre, Aldebaran, c'est que l'anneau A ne fonctionne pas forcément comme le corps des réels R ou celui des complexes C. D'ailleurs, ces derniers sont des corps, alors que A est un anneau.

En fait, dans ce que tu donnes, Aldebaran, on pose la définition d'un anneau, mais rien dans la définition de l'anneau ne permet de dire s'il a ou non des diviseurs de 0. Tu rencontreras pas la suite des anneaux qui ont des diviseurs de 0. Il faut prendre ces définitions pour ce qu'elles sont : des définitions : la structure d'anneau est définie ainsi, et ensuite tu verras des exemples qui prouveront qu'un anneau peut avoir des diviseurs de 0.

En fait, si, à partir de la seule définition de l'anneau, tu n'arrives pas à prouver qu'un anneau ne peut avoir de diviseurs de 0, tu n'as aucune raison d'être étonné qu'un anneau puisse avoir des diviseurs de 0 !!!

Il ne faut pas que tu raisonnes par comparaison avec des ensembles comme R ou C, car ces ensembles, justement, n'ont pas de diviseurs de 0. Cela est "écrit" dans leur structure même.

En gros, ce sont les structures qui caractérisent les ensembles, et pas les ensembles qui caractérisent les structures.

:happy3:

Salut,
j'ai juste une question à poser:
pourquoi méprises-tu ainsi aldébaran?
J'ai fait sup et spé, et j'en suis parti à cause de ce genre d'attitude.
tu penses vraiment que parler ainsi te rends service?? c'est pas comme ça qu'on taille sa pierre, et la tous les fils de la veuve me comprendront.
enfin si toi, alpha tu crois que tu vas atteindre l'oméga ainsi, tu es bien loin du compte, et c'est pour toi que je dis ça.
Pour préciser, j'ai étudié par coeur ce genre de masturbation intellectuelle qui ne me servent maintenant strictement à rien (je suis en thèse d'astrophysique), et ce n'est pas parce que j'ai vu telle ou telle leçon en 6ème ou en spé que je vais forcément m'en rappeler....
Bon ben quand les mathématiciens auront rattrapé les physiciens, vous me ferez signe!!
bonne sega à tous!!!!

par **gamecuber** » 23 Aoû 2005, 18:04

"51peg" a écrit:Salut,
j'ai juste une question à poser:
pourquoi méprises-tu ainsi aldébaran?

Je ne vois pas la moindre marque de mépris dans le message d'Alpha...

par **MooMooBloo** » 23 Aoû 2005, 18:05

Pourquoi cette réaction? Alpha ne faisait que aider...
Et puis ne vas pas mettre sur le tapis une rivalité entre mathématicien et physiciens qui, meme si elle te tiens visiblement à coeur, est totalement hors de propos.
Quant au langage ordurier, je laisse le soin aux modos de s'en occuper.....

par **Nightmare** » 23 Aoû 2005, 18:11

Depuis quand Z/nZ se voit-il en spé et non en sup?

par **phenomene** » 23 Aoû 2005, 18:12

Cher 51peg, je crains que tu ne sois le seul à voir du mépris dans le message d'Alpha, qui tentait de se mettre à la portée de quelqu'un qui semblait découvrir tout juste la notion de diviseurs de zéro, et donc probablement d'anneau, et ainsi ne connaissait sûrement pas la notion d'anneau quotient et

. On peut supposer que tout cours d'algèbre raisonnablement construit procède dans cet ordre, en taupe ou ailleurs.

Maintenant, je ne vois pas l'intérêt de venir ici insulter les autres ; si les mathématiques te semblent de la masturbation intellectuelle et ne te servent à rien, je te suggère de ne pas venir poster (ou plutôt troller) ici.

Signé : un mathématicien, néanmoins titulaire d'un DEA d'astronomie, qui n'apprécie pas les insultes envers une discipline, quelle qu'elle soit.

par **phenomene** » 23 Aoû 2005, 18:14

Nightmare a écrit:Depuis quand Z/nZ se voit-il en spé et non en sup?

Depuis la réforme de 1995 (remplacement des filières M et P, par MPSI, PCSI et compagnie, avec de nouveaux programmes au passage).

par **Nightmare** » 23 Aoû 2005, 18:17

Pourtant on en parle toujours dans mon bouquin d'algébre MPSI (qui date de 2003) ....

par **gamecuber** » 23 Aoû 2005, 18:21

"Nightmare" a écrit:Pourtant on en parle toujours dans mon bouquin d'algébre MPSI (qui date de 2003) ....

Je pense que c'est parce-que beaucoup de profs de sup préfèrent introduire le plus tôt possible les congruences, outil très efficace et déjà utilisé en TS... Et pour faire cela "proprement", on est obligé de parler de Z/nZ, même si ça a en effet disparu du programme de sup

par **phenomene** » 23 Aoû 2005, 18:22

Nightmare a écrit:Pourtant on en parle toujours dans mon bouquin d'algébre MPSI (qui date de 2003) ....

Au feu ! :lol5: Je plaisante, de quel livre s'agit-il ? En principe, l'arithmétique se voit en sup sans parler de la notion d'idéal, "sans structures", comme en terminale. Et pas de

ou autre structure quotient à ce niveau.

Pour consulter les programmes de prépa : http://prepas.org/ProgrammesCPGE/.

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