[Résolu] Équation modulaire de degré 2 et diviseurs de zéro

[5H1NJ1]

Bonjour à tous,

J'étudie quelques équations modulaires et une me pose problème. J'écris l'énoncé :

Soit .
1. Déterminer les diviseurs de zéro de l'anneau .
2. Résoudre dans l'équation

1. Pour la première question qui, je pense, ne me pose pas de problème, je trouve que les diviseurs de zéro sont de la forme et avec et

2. Pour la deuxième question, peu se réécrire puis en faisant une table des carrés dans , on trouve finalement quatre solutions qui sont .

Mais écrire cette table des carrés est laborieux, et de plus je n'exploite pas la première question.

Si on réécrit différemment , on a que . n'est pas un corps donc on ne peut pas conclure directement. Il faut prendre en compte les diviseurs de zéro donnés dans la question 1. On retrouve déjà et comme solutions.

Je ne vois pas comment prendre en compte les diviseurs de zéros car des couples dont le produit fait zéro dans , on en a un paquet.

Merci de votre aide

[tournesol]

Les couples de ton paquet de couples sont de la forme (7k,13k') et (13k,7k')
Tu n'as plus qu'à résoudre
(x+3=7k et x-1=13k') ou (x+3=13k et x-1=7k')
Au final , tu auras très peu de solutions dans A .

[Ben314]

Salut,
Vu la premiere question, je pense pas que ce soit la methode attendue, mais le plus simple (et le plus rapide) pour resoudre (X-1)(X+3)=0 mod 97 c'est de dire que ca equivaut a la meme equation modulo 7 ET modulo 13. D'ou les 4 solutions :
X=1 mod 7 et =1 mod 13
X=1 mod 7 et =-3 mod 13
X=-3 mod 7 et =1 mod 13
X=-3 mod 7 et =-3 mod 13

[5H1NJ1]

Merci pour vos réponses !

tournesol, ça fait un paquet d'équations à faire, mais je crois qu'il n'y a pas mieux si on suit l'exercice. J'ai envie de le faire sous Python.

Ben314, le théorème des restes chinois, je n'y avais pas pensé. C'est ce qu'il y a de mieux à faire c'est certain. La logique de cet exercice m'échappe.

[tournesol]

ça na fait pas un paquet d'équations à résoudre.
Résolvons (x+3=7k) et (x-1=13k')
Le système est équivalent à
(x=7k-3) et (7k-3=13k'+1) , donc aussi à (x-7k-3) et (7k-13k'=4)
La résolution de 7k-13k'=4 est classique :
On résous l'équation homogène 7k-13k'=0 de solutions (13u , 7u) , avec u dans Z ça va de soi .
On lui ajoute une solution particulière que l'on trouve de tête :
On voit que 7x2-13x1=1 , donc 7x8-13x4=4
Bingo c'est résolu: les couples de la forme (13u+8,7u+4)
D'où x=7k-3=7(13u+8)-3=91u + 53 .
Valeur retenue dans A : 53
Il est inutile de vérifier car on a procédé par équivalence mais une erreur de calcul est possible :
(53+3)(53-1)=56x52=7x8x13x4=(8x4)x91=0 mod 91
Il ne te reste plus que l'autre équation et les racines évidentes .

PS: ce que j'ai fait n'est rien d'autre que la méthode proposée par Ben314

[Maxymyze]

Il existe une forme canonique sans division (donc utilisable dans les anneaux quelconques) pour le polynôme du second degré

4a(ax²+bx+c) = (2ax+b)² - delta
(delta = b²-4ac)

Grandes implifications !

[tournesol]

Je ne vois pas tes simplifications .
On obtient simplement la forme factorisée (x+3)(x-1) déjà trouvée .