Dérivabilité en zéro de la moyenne de Cesaro d'une fonction continue

[hansaplast]

Bonsoir

Je n'arrive pas à trouver la solution à cette question si vous pouviez me donner un coup de main :

Soit f une application continue de R+ vers R et f* la fonction associée telle que :

Pour tout x>0 f*(x)=1/x int(f(t)dt,t,0,x)
f*(0)=f(0)

1) On suppose que f est dérivable en 0
a) la fonction f* est-elle dérivable en 0?
b) Démontrer que si f est monotone sur R+, la fonction f*-f est de signe constant sur R+ et que f* est aussi monotone sur R+.

2) On suppose que f est périodique de période T>0
Démontrer que f* a une limite dinie en +inf et exprimer cette limite en fonction des réels T et int(f(t)dt,t,0,T)

Voila merci d'avance

[nekros]

Salut :)

f*(x)=1/x int(f(t)dt,t,0,x)

Je ne comprends pas quelles sont les bornes de ton intégrale ? 0 et x ?

Pourquoi y a-t-il un t avant le 0 ?

[fahr451]

bonsoir
faire un dl à l'odre de 2 de F primitive de f

[hansaplast]

Le t c'était juste pour montrer par rapport à quelle variable on fait l'intégrale mais c'est vrai que ça sert à rien parce que j'ai mis "dt"
C'est juste f*(x)=1/x int(f(t)dt,0,x)

[hansaplast]

merci fahr451 j'ai réussi en faisant comme tu as dit.

[nekros]

Tu peux montrer comment tu as fait, car je ne vois pas et je n'ai pas envie de mourir idiot :stupid_in

[hansaplast]

int(f(t)dt,0,x)=F(x)-F(0)

et Taylor young d'ordre 2 (possible car f dérivable en 0) en 0 :
F(x)=F(0)+xF'(0)+x²/2F''(0)+o(x²)

d'où 1/x(f*(x)-f*(0))=f '(0)/2+0(1)

et lim(xtendvers0) 1/x(f*(x)-f*(0)) =f '(0)/2

[hansaplast]

Une idée pour les autres questions?

[hansaplast]

Déjà pour la b, si f*-f de signe constant sur R+ alors comme f*'(x)=1/x(f*(x)-f(x)) on a la monotonie de f*.
Mais je n'arrive pas à prouver que f-f* est de signe constant.
Il faut sans doute se servir du fait que f est monotone donc f ' est de signe fixe