Dirichlet

[Anonyme]

Comment démontrer l'intégrale de dirichlet ?

I=integrale{0,+inf} sin(x)/x = pi/2

[quinto]

Comment démontrer l'intégrale de dirichlet ?

I=integrale{0,+inf} sin(x)/x = pi/2

Ca se fait bien avec le théorème des résidus.
Sinon c'est chiant.

[palmade]

Si on s'interdit le calcul par les résidus, le plus simple est de définir F(x) comme intég(t=0 à +inf) exp(-xt) sint dt/t ; F(0) est la valeur cherchée
Or F'(x)=-integ(t=0 à +inf) exp(-xt) sint dt=...=-1/(1+x^2)
Donc F(x)=F(0)-Arctg(x)
F tend vers 0 qd x tend vers +inf donc F(0)=pi/2

Autre voie définir In=integ(x=0 à pi/2) sin2nx cotgx dx
et Jn=integ(x=0 à pi/2) sin2nx dx/x
In=pi/2, Jn tend vers l'intégrale cherchée, et In-Jn tend vers 0 comme on peut voir immédiatement par une intégration par partie, la dérivée de cotgx- 1/x restant bornée

[quinto]

A noter que cette fonction est Riemann intégrable et non Lebesgue intégrable.
C'est l'exemple classique:)

Merci à Palmade pour ses calculs.
A+