Dimension d'un sous-espace vectoriel
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aston
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par aston » 23 Juil 2007, 15:01
Bonjour, voici la question demandée:
Dans l'espace vectoriel réel des fonctions de 
vers 
, quelle est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les cinq fonctions appliquant 
sur respectivement
, ln (2 x^2), ln (3 x^3), ln (4 x^4), ln (5x^5))
?
Justifier la réponse.Je dirais que la dimension du sous-espace est 2 puisque ces 5 fonctions sont dans le plan.
Mais comment être beaucoup plus précis ? Je n'arrive pas à trouver d'éléments théorique sur les sous-espaces vectoriels qui puissent m'aider à justifier ma réponese (si elle est correcte).
Merci.
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nuage
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par nuage » 23 Juil 2007, 15:14
Salut,
je dirais aussi 2, mais parce que les combinaisons linéaires de ces 5 fonctions sont des combinaisons linéaires de
et de
.
Et que la fonction ln n'est pas constante sur
.
Par exemple
=\ln2 +2 \ln x)
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B_J
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par B_J » 23 Juil 2007, 15:17
salut;
=\ln(k)+k\ln(x)=\ln(k)\times 1+k\times \ln(x))
,
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aston
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par aston » 23 Juil 2007, 15:19
nuage a écrit:Salut,
je dirais aussi 2, mais parce que les combinaisons linéaires de ces 5 fonctions sont des combinaisons linéaires de
et de
.
Et que la fonction ln n'est pas constante sur
.
Par exemple
Ok je vois pour les combinaisons linéaire. Cependant peux-tu expliquer ce qu'est une fonction constante (non constante) et en quoi ça joue dans la justification ?
merci
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nuage
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par nuage » 23 Juil 2007, 15:28
Une fonction constante associe à chaque valeur de la variable la même valeur.
sont des fonctions constantes.
La fonction ln n'est pas constante
)
par exemple.
Les combinaisons linéaires de fonctions constantes sont constantes, donc ln n'est pas une telle combinaison.
Ce qui assure l'indépendance linéaire de
et de
dans l'espace vectoriel considéré.
La dimension du sev est donc bien égale à 2. Car il est engendré par une famille libre à 2 éléments.
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