Dimension d'un espace vectoriel

[hervedo]

Bonjour à tous,

J'essaie de démontrer que l'espace vectoriel E des solutions d'une équation différentielle d'ordre deux est de dimension 2. J'ai trouvé deux fonctions g et h solutions à mon équation différentielle, et j'ai montré que la famille {g,h} est libre. Le problème est pour montrer que cette famille constitue une base de E...je voudrais montrer que cette famille est libre et maximale mais pour ça je dois connaître la dimension de E. (je sais que c'est deux mais comment le montrer rapidement ?) L'autre approche a été de prouver que cette famille {g,h} est génératrice de E, là encore, ce que j'obtiens ne me semble pas assez convaincant. Par avance, merci de votre aide. Par exemple, si on considère l'équation différentielle y"-y'=0...

[arnaud32]

comment as tu resolut on probleme?
si tu as montre que necessairement ta fonction solution est combinaison lineaire de f et g alors c'est deja resolu.

[hervedo]

En disant que g et h sont solutions de mon equadiff, donc toute combinaison linéaire de g et h est solution de cette equadiff suffit alors à dire que la famille {g,h} est génératrice de E ?

[arnaud32]

non si tu trouves deux solutions (libres) tu peux conclure que ton EV est de dim au moins 2.
en revanche si tu as prouve que toute solution etais combinaison lineaire des deux solutions particulieres trouvees alors oui tu peux conclure que la dim est finalement 2.

[arnaud32]

y''=y' donne (y')'=y' donc y' est solution de z'=z qui a pour solution z=A*exp(x)
donc tu as y'=A*exp(x) et y = A*exp(x) + B

tu verifies que y = A*exp(x) + B est bien solution et tu as donc une condition necessaire et suffisante

si tu veux plus de details

http://fr.wikiversity.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle_du_deuxi%C3%A8me_ordre

[hervedo]

Merci beaucoup Arnaud tout le puzzle se met en place maintenant...Encore MERCI.