Différentielles d'ordre supérieur

[sqrtqmaths]

Bonjour,
Je rencontre un problème dans mon apprentissage des différentielles d'ordre supérieur et formule de Taylor.
Une question dans un exercice est "Montrer que f admet un développement de Taylor à l'ordre 2 en (0,0)".
Dans la correction on a montré que le reste respecte bien la formule de Taylor Young. Pourtant, instinctivement j'aurais plutôt voulu montrer que la fonction est de classe C2 en (0,0) ? Est-ce que cet argument marche ?
Je pense avoir plus généralement un problème dans la compréhension des développements de Taylor ? est-ce que ce sont des développements limités ? A quoi servent-ils ?

Merci !