Différentielle

[bentaarito]

je me propose de calculer la différentielle de :




donc si je pose





j'ai envie d'écrire


a-t-on ça?

après, il est claire que ( par linéarité de la trace )
mais je vois pas comment calculer Dg(A) :marteau:


j'ai écrit, pour ,
mais je sais pas si ça m'avance

PS: je pense que je peux appliquer la formule de Neumann pour le développement en somme vu que je peux prendre H suffisamment petit de telle façon que ||AH|| <1

[bentaarito]

Je pense avoir trouvé :zen:


avec

donc il me reste à montrer que pour conclure que
( la linéarité de Dg est triviale et qui implique la continuité vu qu'on est en dimension finie)

alors ?? :id:

[Doraki]

h = g ° f, donc dh(x) = dg(f(x)) ° df(x)
comme la trace est linéaire, dg(_) = g = tr, donc dh(x) = tr ° df(x)

Puisque pour tout A inversible, A*f(A) = I, en dérivant on obtient que f est dérivable et que did(A)(H)*f(A) + A*df(A)(H) = 0.
id est linéaire donc did(_) = id, donc H*f(A) + A*df(A)(H) = 0 :
df(A)(H) = - A-1*H*f(A) = - A-1 H A-1

Donc dh(A)(H) = - tr(A-1 H A-1)

[bentaarito]

------------- did(A)?

[Doraki]

la différentielle de l'application identité, en A.

[bentaarito]

h = g ° f, donc dh(x) = dg(f(x)) ° df(x)
comme la trace est linéaire, dg(_) = g = tr, donc dh(x) = tr ° df(x)

Puisque pour tout A inversible, A*f(A) = I, en dérivant on obtient que f est dérivable et que did(A)(H)*f(A) + A*df(A)(H) = 0.
id est linéaire donc did(_) = id, donc H*f(A) + A*df(A)(H) = 0 :
df(A)(H) = - A-1*H*f(A) = - A-1 H A-1

Donc dh(A)(H) = - tr(A-1 H A-1)

Je vois que j'ai commis une faute en écrivant dh(x) = df(x)°dg(f(x)) :bad:
donc en rectifiant ça, on est d'accord qu'on a le même résultat mais avec eux méthodes différents, non?
(J'essaye toujours de comprendre la tienne, sans Latex ça devient un peu moins visible..)

[bentaarito]

Ma méthode est-elle bonne ? :dodo:

[Doraki]

Ouais elle m'a l'air bonne.

[bentaarito]

je me pose une question depuis le début de ce chapitre qu'on vient d'aborder, et j'arrive toujours pas à y répondre.
Quand est-ce que je prends une dérivée directionnelle ( ie dans le cas de la trace :1/t [Tr(A+tH)-Tr(A)])
pour calculer la différentielle et quand est ce que je prends directement Tr(A+H) et je développe :hum:

[Doraki]

Ben c'est la même chose, sauf si tu ne comptes pas développer dans ton (f(A+tH)-f(A))/t.

Entre développer f(A+H) et repérer les termes linéaires en H, et développer f(A+tH) et repérer les termes de degré 1 en t, y'a pas tellement de différence.

[bentaarito]

tu peux me donner un exemple sur ( ou peu importe ) stp que je visualise la chose?

[Doraki]

Je pensais que tu parlais de f qui s'appliquait à des matrices et qui faisait des opérations matricielles.

[bentaarito]

ah donc ce n'est vrai que si f agissait sur des matrices?

[Doraki]

Ben si f n'a aucun rapport avec les opérations matricielles, ça risque d'être difficile de garder H intact.

[bentaarito]

D'accord, si j'ai bien compris, généralement on prend une dérivée directionnelle, mais dans le cas des fonctionnelles agissant sur des matrices ça revient au même de considérer f(A+H).

si je prends maintenant :



je peux regarder f(A+H,B+K) directement ?

[Doraki]

Ben ouais c'est la composition de la trace (de différentielle constante à la trace) et de la multiplication qu'on sait différentier) : ça donne df(A,B)(H,K) = Tr(AH+BK)

[bentaarito]

oui c'est plus simple de voir ça comme une composition :)

[bentaarito]

Ben ouais c'est la composition de la trace (de différentielle constante à la trace) et de la multiplication qu'on sait différentier) : ça donne df(A,B)(H,K) = Tr(AH+BK)

C'est pas plutôt df(A,B)(H,K) = Tr(AK+BH) ?

[Doraki]

euh oui j'ai pas fait gaffe.