Equation différentielle : Problème!

[buzard]

En particulier buzard,explicite ton changement de variable car je n' ai rien compris....et donnes si tu peux la solution finale que tu obtiens sous la forme:
h(t)=....(solution étant débarrassée des variables intermédiaires bien sûr)

En faite ce n'est pas tant la solution qui m'interessait que de donner une explication à la solution donné par Maple. En gros le faite que l'equation soit à variable séparable s'ecrit ainsi :

f(h)dh= g(t)dt

que l'on peut integrer (formellement dans ce cas, sinon on travail juste avec des primitives theoriques F et G) :

F(h) +Cst = G(t)

inutile de mettre une constante des deux cotés, donc on se retrouve avec une fonction implicte (c'est déjà mieux qu'une equa diff) :

Si on veut vraiment une expression formelle on a localement (là ou l'on peut inverser la fonction F):

h = F^-1 ( G(t) - Cst )

c'est cette solution que donne Maple ou Matlab avec le Root_Of ou le Function_Inverse.
Le hic c'est que cette inverse ne s'exprime pas avec des fonctions élémentaires simples, et ne vous en faite pas que si c'était possible Maple aurait fournit le résultat.

D'un point de vue pratique je ne voit pas vraiment l'interet d'inverser la fonction.

On réprondra alors aux question du style :
- en combien de temps h atteint ho
Il suffit de calculer F(ho)+Cst

- quelle est la hauteur h, à la date to :
on cherche alors une racine de l'equation F(h)+Cst=to


Le changement de variable que j'ai fait c'est pour avoir des éléments simples inversibles, en faite je ne connait pas la formule générale pour intégrer une fraction rationnelle :

alors dans un premier temps j'ai fait un décalage s=h+qqchose pour enlever les termes de degrée 1 dans le dénominateur. on a alors un truc du style :



alors je fait le changement de variable u = s/a pour avoir :



et ça je sais integrer : ca donne un arctan.

Je n'ai présenté que le changement de variable globale qui fait les deux en même temps.

Tient je viens d'y penser on peut chercher une expression utilisant des fonctions complexe, ça Maple ou Matlab save pas bien faire :

Nouveau post celui la deviens trop long

[buzard]

considérons donc une fraction rationnelle de la forme (a /= 0):


On s'intéresse à intégrer cette fraction.
il faut déterminer les pôles (racines du dénominateur) disons r_1 et r_2 (réel ou complexe). on a alors,


qu'on décompose en élément simple (si r_1 /= r_2 pour faire simple),


et ça on sait intégrer :


qu'on peut aussi écrire :


donc la fonction implicite s'ecrit aussi (celle de l'equa diff)



suivant les valeurs de A et B on peut ou pas inverser. point

[le fouineur]

Bonsoir buzard et merci pour ta réponse rapide,

J' ai bien compris la partie de ta réponse qui démontre que F(h) n'est pas inversible.Par contre je suis toujours bloqué par le changement de variable...

En effet si l'on reprend l'équation avec l'erreur de signe corrigée,il vient:

[(1-h)*dh]/[6*h^2-16*h+2]=dt ce qui peut encore s'écrire:

[(1-h)*dh]/[h^2-(8/3*h)+1/3]=6*dt et tu veux faire disparaitre le terme:8/3*h au dénominateur....
Pourquoi introduire alors Sqrt(11) dans le changement de variable?D'oû vient ce Sqrt(11)???Si tu en as encore le courage,détailles-moi la transformation y aboutissant en partant de l'expression corrigée.Merci d'avance

Cordialement le fouineur

[Yipee]

Le venait pour l'équation qui était fausse. Là il faut trouver les deux racines de qui doivent être
et . Dès lors on cherche des coefficients u et v tels que



Après on intègre.

[buzard]

Bon apparemment les applications pratiques c'est pas votre fort. Alors je me lance pour une résolution, à l'aide de maple :

Code: Tout sélectionner

> dh/dt=-2*(4/(1-h)+3*h-5);

                       dh         1
                      ---- = -8 ----- - 6 h + 10
                       dt       1 - h

> solve(%,dt);

                                dh (-1 + h)
                         - 1/2 --------------
                                            2
                               1 - 8 h + 3 h

> convert(%,parfrac,h,sqrt(13));

              dh (-13 + sqrt(13))        (sqrt(13) + 13) dh
         1/52 ------------------- + 1/52 -------------------
              3 h - 4 + sqrt(13)         -3 h + 4 + sqrt(13)


On doit lui fournir une extension algébrique car j'ai une vielle version, et il préfère rester dans le cors algébrique initiale (ici les entiers).

Bon une fois qu'on a nos éléments simple, on intègre même à la main et on obtient notre fonction implicite (remise un peu en forme):



c'est donc la solution à l'equa diff de départ. donner sous la forme :

f(h,t) = c

On récupère la constante en posant f(0,0) les conditions initiales. Il ne reste plus qu'à tracer :

Code: Tout sélectionner

> plots[contourplot](f,t=-1..1, h=-2..6, grid=[50,50], contours=[c]);

et on peut admirer le résultat dans l'espace des phases, Je ne représente qu'une seule des lignes de niveau, car elles se déduise par simple translation sur l'axe des temps (je ne sais plus comment s'appelle une equa diff qui ne fait pas intervenir la variable de temps, si quelqu'un s'en rappel ça m'interesse).
Les piques sont en faite des asymptotes horizontales (aux racines r_1~0.13 et r_2~2.54 à cause des logarithmes). Et une tangente verticale en h=1 (ça vient de l'equation de départ 1/(h-1))
on remarque quatres zones d'évolution du système qui sans intervention extérieur sont exclusifs (le système ne saute pas tous seul d'un mode à un autre):

ho < r_1 ~ 0.13 :

C'est le cas qu'on peut considérer comme physique (à cause des conditions intiales qu'on a), la hauteur croit vers la limite r_1.

r_1 < ho < 1

h décroit jusqu'à r_1

1 < ho < r_2

h croit jusqu'à r_2

r_2 < ho

h décroit jusqu'à r_2

Dans tous les cas le système se stabilise vers une des valeurs r_1 ou r_2. Et on peut dire que l'equilibre est atteint assez rapidement.

Si on veut chercher plus loin, on peut s'interesser à des variations stochastiques. Concrètement s'il s'agit d'un système hydraulique, ça sera des fuites, la pluie, l'impregnation du sol ou simplement l'évaporation.
Dans ce cas le système sera hératique, surtout autour de h=1, il sera sans arret perturbé par les éléments extérieurs, et ne sera pas dans quel mode donner de la tête (un peu comme une particule quantique)

[le fouineur]

bonjour et merci buzard pour ta réponse détaillée,

Ma curiosité pour les méthodes de résolution d'une telle équation vient de ma culture:en effet je ne sais que calculer les solutions des équations différentielles "gâteau",c' est à dire celles oû l'inversion d' une fonction de y ne pose pas de problème particulier:

Par exemple: x*[dy/dx]-y=x qui donne tout simplement y=Cste*x+x*Abs(x)

ou bien:[dy/dx]=2*x*Sqrt(1-y^2) qui conduit à Arcsin(y)=x^2+Cste,ce qui donne finalement:
y=Sin(x^2+Cste)

Sinon,bravo pour ton interprètation des résultats sur un système physique:je vois qu'on peut démontrer la stabilité d' un système en ayant seulement comme données une fonction qui lie h à t sans avoir exactement h(t).....

Merci aussi Yipee pour ta contribution

Cordialement le fouineur