Equation différentielle

[corolle]

Alors, pour la question 2, j'ai cette solution, pourriez vous me dire si cela est juste :
Vérifier que h(x)=lnx+1/2 est une solution particulière de (E) :
On cherche a et b tels que h(x)=ax + b est une solution de (E) :

h(x) = ax+b
xh'(x)+2h(x)=lnx+1/2
xa +2(ax+b)=lnx+1/2
ax+2ax+2b=lnx+1/2
3ax+2b=lnx+1/2

Est ce la bonne réponse?

[MacManus]

(J'ai fais une toute petite correction dans mon post précédent... ok)

Le mot important dans cette question : " Vérifier "
(On t'as déjà indiqué la marche à suivre si si !!)

Pourquoi redéfinir la fonction h comme étant une fonction affine ???
h est définie, pour tout x > 0, par :

Pour vérifier que h est une solution particulière de (E), il suffit de substituer
y(x) par h(x) et y'(x) par h'(x). Autrement-dit, tu dois vérifier que :
x h'(x) - 2 h(x) est bien égal au membre de droite -2 ln(x).

Pour cela, tu dois avant tout calculer la dérivée de la fonction h, notée h', pour tout x > 0.

[MacManus]

AU FAIT ! pour la 1ère question, n'oublie pas de calculer K(x) (pour l'instant on connaît seulement K'(x) !!)

[corolle]

Merci MacManus pour vos explications claires, cela m'aide beaucoup à comprendre. par contre mes résultats ne semblent pas cohérents :

Par contre, en ce qui concerne le calcul de K(x), on l'a déjà dans la réponse que vous avez proposée : K(x) = y(x)/x²

Pour la question 2 :
h(x) = ln(x)+1/2 alors si je dérive h(x) :
on observe que cette fonction est de la forme U+V donc h'(x) = U'+V' :
Sachant que U= lnx et V = 1/2

la dérivée de ln(x) = 1/x et la dérivée de 1/2 est 1/2² donc 1/4

donc : h'(x) = 1/x +1/4
=2/4x = 2x

h'(x) =2x

à partir de là : xh'(x)-2h(x) = x(2x)-2(lnx+1/2)
=3x - (2*lnx)+(2*1/2)
=3x-2lnx+1
3x-2lnx+1

j'ai dûe faire une erreur dans la dérivée car je n'obtiens pas -2lnx alors est ce que l'erreur ne viendrait pas de la dérivée de 1/2?

[Black Jack]

Merci MacManus pour vos explications claires, cela m'aide beaucoup à comprendre. par contre mes résultats ne semblent pas cohérents :

Par contre, en ce qui concerne le calcul de K(x), on l'a déjà dans la réponse que vous avez proposée : K(x) = y(x)/x²

Pour la question 2 :
h(x) = ln(x)+1/2 alors si je dérive h(x) :
on observe que cette fonction est de la forme U+V donc h'(x) = U'+V' :
Sachant que U= lnx et V = 1/2

la dérivée de ln(x) = 1/x et la dérivée de 1/2 est 1/2² donc 1/4

donc : h'(x) = 1/x +1/4
=2/4x = 2x

h'(x) =2x

à partir de là : xh'(x)-2h(x) = x(2x)-2(lnx+1/2)
=3x - (2*lnx)+(2*1/2)
=3x-2lnx+1
3x-2lnx+1

j'ai dûe faire une erreur dans la dérivée car je n'obtiens pas -2lnx alors est ce que l'erreur ne viendrait pas de la dérivée de 1/2?

Depuis quand la dérivée d'une constante, (ici 1/2) est elle égale à (1/4) ?

h(x) = ln(x)+1/2
h'(x) = 1/x

...

:zen:

[corolle]

Depuis quand la dérivée d'une constante, (ici 1/2) est elle égale à (1/4) ?

h(x) = ln(x)+1/2
h'(x) = 1/x

...

:zen:

Ah oui j'ai dûe faire une errreur,
d'après mon cours, la dérivée de 1/x est - 1/x² donc la dérivée de 1/2 est -1/2² donc -1/4?

[AL-kashi23]

Ah oui j'ai dûe faire une errreur,
d'après mon cours, la dérivée de 1/x est - 1/x² donc la dérivée de 1/2 est -1/2² donc -1/4?

Tu confonds les fonctions f:x->1/2 et g:x->1/x !

La premiere est constante donc de dérivée nulle, la deuxième est de dérivée sur R* x-> -1/x^2.

Ainsi, g'(2)=-1/4

Alors que pour tout x, f'(x)=0 !

[Black Jack]

Ah oui j'ai dûe faire une errreur,
d'après mon cours, la dérivée de 1/x est - 1/x² donc la dérivée de 1/2 est -1/2² donc -1/4?

Aie aie aie.

La dérivée d'une constante est toujours NULLE.

Essaie de comprendre pourquoi en relisant ton cours. (comprendre, pas retenir sans comprendre sinon tu referas des erreurs semblables encore longtemps).

:zen:

[corolle]

Ok! merci pour vos conseils! il faut d'abord que je comprenne, j'ai du mal, je vais voir mon cours..

[corolle]

ok, donc si la dérivée de 1/2 est nulle, alors on obtien :
h'(x) = 1/x +0 = 1/x

donc :
xh'(x)-2h(x)=
x(1/x) - 2(lnx+1/2)
x1/x-2lnx+1

Est ce juste?

[Black Jack]

ok, donc si la dérivée de 1/2 est nulle, alors on obtien :
h'(x) = 1/x +0 = 1/x

donc :
xh'(x)-2h(x)=
x(1/x) - 2(lnx+1/2)
x1/x-2lnx+1

Est ce juste?

Erreur de signe à la dernière ligne et de plus x.1/x se simplifie en 1.

:zen:

[corolle]

ok! merci alors on obtien bien -2lnx!

[Black Jack]

ok! merci alors on obtien bien -2lnx!

Oui, il te reste à finir l'exercice soit:


... En déduire l'ensemble des solutions de (E)
3 - Déterminer la solution f de (E) qui vérifie f(l) =1/4

:zen:

[corolle]

Je suis bloquée sur la question 3! pourriez vous me guider? merci!

[corolle]

pour le calcul de K(x) (question n°1); j'ai trouvé cela :

xy'-2y =0
xy'=2y
y'/y =2/x
En intégrant : ln(y)=2ln(x)+C
comme on a des ln, on pose C = ln(K) avec K supérieur à 0
ln(y) =2ln(x) +ln(K)
ln(y) = ln(x)² + ln(K)
y = K(x)²
y=Kx² si y est sup à 0
y = -Kx² si y est inf à 0

Est ce juste?

[Black Jack]

pour le calcul de K(x) (question n°1); j'ai trouvé cela :

xy'-2y =0
xy'=2y
y'/y =2/x
En intégrant : ln(y)=2ln(x)+C
comme on a des ln, on pose C = ln(K) avec K supérieur à 0
ln(y) =2ln(x) +ln(K)
ln(y) = ln(x)² + ln(K)
y = K(x)²
y=Kx² si y est sup à 0
y = -Kx² si y est inf à 0

Est ce juste?

Attention, tu t'égares à nouveau.

Le "K" de la question 1 est une constante réelle et pas une fonction de x.

Parfois, lorsqu'il s'agit de trouver une solution particulière de l'équation avec second membre (Que c'est mal exprimé même si c'est ce qu'on dit d'habitude), on peut le faire par la méthode de la "variation de la constante trouvée dans la résolution de l'équation sans second membre. (Que c'est mal exprimé même si c'est ce qu'on dit d'habitude).

Mais ici, ce n'est pas le cas puisqu'on t'a fourni cette solution particulière et que tu as du juste vérifier qu'elle convenait.

Tu sais donc jusqu'ici que:

- Les solutions de xy' - 2y = 0 sont : y = k/x² avec k une constante réelle quelconque.
- Une solution particulière de xy'-2y = -2lnx est y = ln(x) + (1/2).

Et tu as tout ce qu'il faut pour trouver les solutions générales de xy'-2y = -2ln(x)

Lorsque tu les auras trouvées (c'est immédiat), elles dépendent de K.

Il suffira alors de trouver parmi ces solutions générales de xy'-2y = -2lnx celle qui convient à la question 3 de l"énoncé.

Donc, il faudra trouver la valeur de K qui convient.

:zen:

[corolle]

ok alors il faut que je remplace x par 1 pour la question3?
ce qui donnerai 1y'-2y=2ln(1) je devrais trouvé f(1) : 1/4

[corolle]

Je trouve ceci pour la 3 :
f(1) = ln(1)+1/2
f(1) =1/2
je n'obtien pas 1/4..

[corolle]

je trouve une autre réponse en utilisant
f(1) = xy'-2y=1/4
1y'-2y=1/4
1-2=1/4+y'/y,
on a vu précédement que y'/y =2/x
donc
-1=1/4-2/x
=1/4

Est ce juste?

[MacManus]

Attention, tu t'égares à nouveau.

Le "K" de la question 1 est une constante réelle et pas une fonction de x.

Parfois, lorsqu'il s'agit de trouver une solution particulière de l'équation avec second membre (Que c'est mal exprimé même si c'est ce qu'on dit d'habitude), on peut le faire par la méthode de la "variation de la constante trouvée dans la résolution de l'équation sans second membre. (Que c'est mal exprimé même si c'est ce qu'on dit d'habitude).

Mais ici, ce n'est pas le cas puisqu'on t'a fourni cette solution particulière et que tu as du juste vérifier qu'elle convenait.

Tu sais donc jusqu'ici que:

- Les solutions de xy' - 2y = 0 sont : y = k/x² avec k une constante réelle quelconque.
- Une solution particulière de xy'-2y = -2lnx est y = ln(x) + (1/2).

Et tu as tout ce qu'il faut pour trouver les solutions générales de xy'-2y = -2ln(x)

Lorsque tu les auras trouvées (c'est immédiat), elles dépendent de K.

Il suffira alors de trouver parmi ces solutions générales de xy'-2y = -2lnx celle qui convient à la question 3 de l"énoncé.

Donc, il faudra trouver la valeur de K qui convient.

:zen:

C'est plutôt y = kx²
Sinon corolle tu n'as pas écouté ce que t'as dit Black Jack, il te dit comment faire. La seule chose "difficile" c'est trouver la valeur de K, mais on t'as déjà dit comment faire. :happy3: