Equation différentielle

[corolle]

Bonjour, j'ai des difficultés pour résoudre ces questions :

On considère l'équation différentielle (E) suivante, où y désigne une fonction de la variable réelle x, et où ln désigne la fonction logarithme népérien
(E) xy'-2y = -2lnx

1 - résoudre l'équation différentielle xy'-2y =0
2 - Vérifier que la fonction h, définie pour tt réel x appartenant à l'intervalle 0 ; + l'infini par h(x) = lnx+1/2 est une solution particulière de (E)
En déduire l'ensemble des solutions de (E)
3 - Déterminer la solution f de (E) qui vérifie f(l) =1/4

Je vous remercie!

[benekire2]

Salut,

Qu'as tu déjà fait ?

Pour la première question écrit que y'-(2/x)y=0 et applique le résultat qui doit se trouver dans ton cours sur les equa diff de premier ordre sans second membre.

Pour la deuxième, je te laisse la vérification, mais après si tu note l les solutions que tu as trouvé à la 1 alors les solutions de ton équation sont de la forme l+h

[Nightmare]

Salut,

attention, l'équation différentielle xy'-2y=0 n'est pas équivalente à l'équadiff y'-2/x y = 0 !

[benekire2]

non, il va falloir faire un recollement si on veut la résoudre sur R, mais on peut déjà commencer sur R+*

[Black Jack]

non, il va falloir faire un recollement si on veut la résoudre sur R, mais on peut déjà commencer sur R+*

Pas besoin de résolution sur R.

Le seul but du point 1 est de finalement pouvoir résoudre l'équation de départ, soit xy'-2y = -2lnx

... Et le second membre n'existe que pour x dans R+*

:zen:

[corolle]

Bonjour, merci de vos réponse mais je n'ai pas tout compris!
alors pour la question 1 j'ai trouvé la réponse suivante :
(E) =xy'-2y=0
dans ce cas, a(x) = x et b(x) =-2
donc b(x)/a(x) = -2/x G est une primitive de -2/x
donc G(x) = -2lnx=lnx^-2
Conclusion:les solutions de (E0) sont les fonctions définies par y(x) =ke^-G(x)
=ke^-ln(an)
=ke^ln(1/x²)

voila et je bloque sur la question 2 et 3

[girdav]

On peut simplifier l'exponentielle d'un logarithme.
Je pense qu'il faut, dans la question 1, résoudre séparément sur et .
Pour la question 2, calcule .

[corolle]

ok, je te remercie!

[Black Jack]

Bonjour, merci de vos réponse mais je n'ai pas tout compris!
alors pour la question 1 j'ai trouvé la réponse suivante :
(E) =xy'-2y=0
dans ce cas, a(x) = x et b(x) =-2
donc b(x)/a(x) = -2/x G est une primitive de -2/x
donc G(x) = -2lnx=lnx^-2
Conclusion:les solutions de (E0) sont les fonctions définies par y(x) =ke^-G(x)
=ke^-ln(an)
=ke^ln(1/x²)

voila et je bloque sur la question 2 et 3

e^ln(a) = e*a (avec a dans R*+)

Et donc avec a = 1/x² : e^ln(1/x²) = ...

:zen:

[corolle]

Pour la question 1 si on simplifie on obtient donc k=1/x donc k/x²
est ce la bonne réponse?

Sinon pour la question 2, j'ai trouvé :
On cherche a et b tels que h(x) = ax+b est une solution de (E)
h(x) = ax+b h(x) =a
xh'(x)+2h(x)=lnx+1/2
ax+2ax+2b=lnx+1/2
3ax+2b=lnx+1/2

je ne suis pas sûr!

[Black Jack]

Pour la question 1 si on simplifie on obtient donc k=1/x donc k/x²
est ce la bonne réponse?

Sinon pour la question 2, j'ai trouvé :
On cherche a et b tels que h(x) = ax+b est une solution de (E)
h(x) = ax+b h(x) =a
xh'(x)+2h(x)=lnx+1/2
ax+2ax+2b=lnx+1/2
3ax+2b=lnx+1/2

je ne suis pas sûr!

Pour le 1, c'est OK au final mais mal exprimé.
e^ln(1/x²) = 1/x² et donc :
y = k/x² avec k une constante réel sont solutions de xy'-2y = 0

Mais pour le 2, ce n'est pas cela.

L'énoncé te fournit l'info : h(x) = ln(x) + 1/2
Et on te demande de vérifier que h(x) est une solution particulière de l'équation : xy'-2y = -2lnx

h(x) = ln(x) + 1/2
h'(x) = ...

Avec ce que tu auras trouvé, calcule alors :
x*h'(x) - 2.h(x) = ...

Et si h(x) est bien une solution particulière de l'équation : xy'-2y = -2lnx
alors tu devrais arriver à :
x*h'(x) - 2.h(x) = -2.ln(x)

Essaie.

:zen:

[corolle]

ok, merci pour la réponse.

alors si je dérive h(x) j'obtiens :

h'(x) = 1/x+(-1/2²)
h'(x) = 1/x-1/4

[mathelot]

re,

tu peux même complexifier un peu le problème (selon Erdös , complexifier le problème simplifie parfois la solution)

soit



on résoud sur chaque intervalle et
de manière complétement indépendante avec une condition initiale sur
chaque composante connexe.

sans second membre


variation de constante


Pour primitiver par partie, il suffit de se débarasser du carré:

a) à droite pour x>0


qui s'intégre par partie agréablement

à gauche , pour x<0

qui s'intégre aussi par partie

ensuite on cherche une solution sur tout entier en
essayant de recoller par continuité en x=0, et si on y arrive
de manière C1,ie, en adaptant les constantes pour que y' soit, elle aussi, une fonction continue

[corolle]

Bonjour,

Pour la question 1 : résoudre l'équadiff xy'-2y=0
j'ai trouvé une autre réponse, pourriez vous me dire si cela est juste :

xy'-2y=0
y'=ay+b
y' = (0+2y)/x
y'=2/x*y+0/x
donc a = 2/x et b =0/x (est ce que 0/x =x?)

Merci!

[MacManus]

Bonjour.

On suppose .

[corolle]

Je ne comprend plus rien! quelle réponse est la bonne pour la question 1? celle que j'ai proposé en premier ou bien en mettant y'=ay+b comme je l'ai proposé dans mon message précédent?
pourriez vous m'aider cela fait 15 jours que je bloque sur ces 3 questions, j'aimerai bcp avancer

[corolle]

re,

tu peux même complexifier un peu le problème (selon Erdös , complexifier le problème simplifie parfois la solution)

soit



on résoud sur chaque intervalle et
de manière complétement indépendante avec une condition initiale sur
chaque composante connexe.

sans second membre


variation de constante


Pour primitiver par partie, il suffit de se débarasser du carré:

a) à droite pour x>0


qui s'intégre par partie agréablement

à gauche , pour x<0

qui s'intégre aussi par partie

ensuite on cherche une solution sur tout entier en
essayant de recoller par continuité en x=0, et si on y arrive
de manière C1,ie, en adaptant les constantes pour que y' soit, elle aussi, une fonction continue

Merci pour votre réponse!
est ce la réponse à la question 1?

[MacManus]

Je vais reprendre des choses qui ont été dites précédemment!


1) Equation sans second membre :


On résout cette équation sur

sur :

(en supposant la fonction y strictement positive sur .)

Une primitive de est ln(y).
Une primitive de est (à une constante réelle C près) 2ln(-x)+C. (attention au ln qui ne prend que des valeurs strictement positives : ici , donc )

Ainsi : ln(y) = 2ln(-x)+C. Par passage à l'exponentielle, on obtient : (avec )

sur : même méthode et même solution

Maintenant il faut trouver l'expression de K (on peut utiliser la méthode de variation de la constante) :
On sait que En dérivant une fois, on a :
égal à (d'après E) :

si

ou

si


EDIT !!

[corolle]

Je vais reprendre des choses qui ont été dites précédemment!


1) Equation sans second membre :


On résout cette équation sur

sur :

(en supposant que le fonction y ne s'annule pas sur .)

Une primitive de est ln(y).
Une primitive de est (à une constante réelle C près) 2ln(-x)+C. (attention au ln qui ne prend que des valeurs strictement positives : ici , donc )

Ainsi : ln(y) = 2ln(-x)+C. Par passage à l'exponentielle, on obtient : (avec )

sur : même méthode et même solution

Maintenant il faut trouver l'expression de K (on peut utiliser la méthode de variation de la constante) :
On sait que En dérivant une fois, on a :
égal à (d'après E) :

si

ou

si

Ok c'est plus claire! je vous remercie

[MacManus]

Pardon une primitive de 2/x (et pas -2)