Résoudre équation différentielle avec dérivée au carré ??!!

[fox61524]

Bonjour à tous !

J'aimerais résoudre l'équation différentielle suivante : (du/dtheta)^2+u^2-alpha*u=beta.

J'avais pensé à un passage en coordonnées polaires mais je ne vois pas trop comment continuer...

Cela fait déjà un petit moment que je bataille eet aucun résultat...

Cette question fait partie d'un devoir de mécanique dans lequel la solution de cette équation doit être une conique...

Merci de votre aide :id:

[Nightmare]

Salut,

je pose . L'équation différentielle équivaut donc à

F est une conique, plus particulièrement un cercle, de centre et de rayon dont un paramétrage est donné par .

Si u vérifie F(u,u')=0 c'est que .

Or,

Et on en déduit un paramétrage des courbes intégrales donné par

Autrement dit,

:happy3:

[Finrod]

Sans subtilité, tu peux séparer

tu remaques que le dénominateur vérifie

Tu sais primitiver le membre de droite. A gauche il reste u'²/u et u'²/u² à primitiver.

Je regarde si j'ai une méthode.

edit : la méthode de nightmare est plus académique il semble.

edit2: ah ben non en fait on sait pas primitiver à droite, quant aux primitive à gauche, je ne les trouve que fonction de u et u'... donc je tourne en rond.

Donc pas mieux.

[fox61524]

merci pour vos réponses :we: en fait j'ai dérivé et simplifié pour obtenir d2u/dtheta2 + u -alpha =0. On obtient alors
u(theta) = alpha + Acos(theta+phi).
J'ai ensuite remplacé dans l'équation diff de départ mais j'obtiens A^2-beta +alphaAcos(theta+phi)=0 je pense qu'il y a un problème puisque je ne peux pas déterminer A.

[fox61524]

c'est bon j'ai trouvé en fait j'ai fait une erreur dans l'équation après avoir dérivé en simplifiant par 2 j'ai laissé alpha au lieu de mettre alpha/2 ...

[busard_des_roseaux]

Si u vérifie F(u,u')=0 c'est que .

Or,

je suis pas trop d'accord. Il me semble que l'on confond l'image avec la fonction u.



ce ne sont pas les mêmes fonctions. ce sont deux paramètrages
qui définissent la même courbe plane.

on peut pas en déduire que


la règle est la suivante:
n'importe quelle quantité est fonction de n'importe quelle autre
(une sorte de théorème des fonctions implicites) mais quand
on ne considère plus la même relation entre quantité,on doit changer la lettre
qui désigne la fonction.

imaginons un exemple drôlatique:
la femme de Bob est sa cousine alice (même image Alice et des fonctions
différentes)
Bob est le mari d'alice (1ère fonction réciproque) et le cousin d'alice (deuxième fonction réciproque)

ce n'est pas la même fonction, si Bob se sépare de sa femme, il continuera de fréquenter sa cousine :we:

[Nightmare]

Tu as raison, j'aurais dû écrire où u' désigne la dérivée de u par rapport à theta.

Bref, on comprend le principe quoi qu'il en soit.