Différentielle

par **Billball** » 27 Mar 2010, 15:34

hello,

mon prof de TD nous a balancé un exo mais bon...

La pression en un point M(x,y,z) d'une région d'espace est donnée par :

Ou se trouve le point le + proche de l'origine ayant pr pression 31,1

Cmt s'y prendre? ya pas une résolution "type"?

par **alavacommejetepousse** » 27 Mar 2010, 16:08

bonjour

comme le point va etre proche de l origine on fait un dl à l ordre 1
(on aura une valeur approchée )

par **Billball** » 27 Mar 2010, 19:47

alavacommejetepousse a écrit:bonjour

comme le point va etre proche de l origine on fait un dl à l ordre 1
(on aura une valeur approchée )

euh, un dl de?

par **Mathusalem** » 27 Mar 2010, 20:22

C'est quoi le sujet traité en ce moment? J'ai quelques pistes mais peut-être pourrais-tu m'éclairer.

Ça, c'est très à l'instinct :
Tu poses z = 0... C'est proche de l'origine, et c'est la fonction qui croît le plus vite, donc on la virer.

Ensuite, tu as par simplifications, y =

Tu as donc y en fonction de x. Tu veux minimiser la distance de x et de y par rapport à l'origine. Tu veux donc minimiser ceci :

.
Tu dérives par rapport à x pour minimiser etc..
Au moins, ainsi, tu auras trouvé une solution (x,y,z) qui est minimale pour z = 0. Ensuite pour voir si elle reste minimale avec z variant, je proposerai la même chose mais avec des dérivées partielles... Ça reste de l'instinct, donc attends Ben314..

par **alavacommejetepousse** » 27 Mar 2010, 20:57

Mathusalem a écrit:Ça reste de l'instinct, donc attends Ben314..

le prof quoi
suis pas prof mais bon je vais essayer qd même

on remplace la fonction par le développement limité à l ordre 1 en 0

qui vaut 32 +2x +y +2z + négligeable

et ensuite on minimalise x^2+y^2 +z^2 sous la contrainte 2x+y+2Z = -0,9

par **Ben314** » 27 Mar 2010, 22:32

Salut,
Normalement, il y a toute une théorie derrière ce genre d'exo, mais on peut des fois s'en passer avec un peu d'astuce...
Comme il est un peu tard, je laisse les astuce de coté.... :dodo:
La théorie, c'est que l'on a une fonction

que l'on cherche à maximiser/minimiser sous contrainte, c'est à dire sur la partie

de

où

et

est un élément fixé de

(ici

et

)

Modulo l'hypothèse que la différentielle de

est bien de rang

en tout point de

, le théorème des fonctions implicites nous "vend" qu'il existe des paramétrisations locales

de

(dans l'exo, en fait on peut donner explicitement des paramétrisations locales de

en prenant par exemple des fonctions de la forme

)
Ensuite, il n'y a plus qu'à chercher les max/min des fonctions de la forme

. On cherche donc les points critiques (les fonctions sont évidement supposées au moins

) et aprés 2 lignes de calculs, on montre que les images par

des points critiques de

sont les

tels que

.
Si, comme ici,

atterrit elle aussi dans

, cela revient à dire que les vecteurs gradients de

et de

en

doivent être colinéaire.

Ici, cela signifie que le max et le min de

sur une quelconque sphère centrée en 0 vérifient :

colinéaire à

En ajoutant la condition

cela fournit un système de trois équations à trois inconnues donnant normalement un nombre fini de solutions parmi lesquelles se trouvent le max et le min.

par **Billball** » 28 Mar 2010, 10:17

polalala suis paumé moi dans tt ca, j'ai rien fais de la dedans...

il fallait passer par le vecteur gradient donc... je suis perdu

par **Ben314** » 28 Mar 2010, 11:57

En plus, j'ai écrit des conneries dans mon post ci dessus : il faut complètement inverser les rôles de

et de

: tu doit minimiser

sous la contrainte

.

En fait, tu peut le faire "complètement à la main" ici (i.e. sans utiliser le théorème des fonctions implicites) vu que l'équation

te permet trés façilement d'exprimer x en fonction de y et de z.
Tu n'as plus qu'à remplacer dans x²+y²+z² qui devient une fonction de y et z uniquement dont tu cherche le minimum (donc tu cherche les points critiques)

P.S. Tu as vu la notion de "points critiques" pour les fonctions de plusieurs variables ?

par **Billball** » 28 Mar 2010, 12:43

Ben314 a écrit:En plus, j'ai écrit des conneries dans mon post ci dessus : il faut complètement inverser les rôles de et de : tu doit minimiser sous la contrainte .

En fait, tu peut le faire "complètement à la main" ici (i.e. sans utiliser le théorème des fonctions implicites) vu que l'équation te permet trés façilement d'exprimer x en fonction de y et de z.
Tu n'as plus qu'à remplacer dans x²+y²+z² qui devient une fonction de y et z uniquement dont tu cherche le minimum (donc tu cherche les points critiques)

P.S. Tu as vu la notion de "points critiques" pour les fonctions de plusieurs variables ?

nan je l'ai pas vu...

jvais copier coller de mon prof :

et

donc

d'où

et

donc

=>

= (-0,2 ; -0,1 ; -0,2)

par **Ben314** » 28 Mar 2010, 13:16

Ayant eut... quelques indisponibilitées chroniques lors des cours de physique que j'était sensé suivre, j'ai un peu du mal avec les "triangles dans tout les sens et des flèches au desus", mais je pense comprendre le fond de ce qu'il fait.
Cela correspond trés précisement à ce que proposait alavacommejetepousse, c'est à dire à une approximation :
Comme la pression au point 0 est "presque" la bonne mais un peut trop grande, on part de 0 et on se dirige dans la direction qui diminue le plus la pression de façon à tomber le plus vite possible sur un point ayant la bonne pression.
Or les directions qui augmentent/diminuent le plus une fonction numérique sont données par le vecteur gradient de la fonction et son opposé.

Bien entendu, avec cette méthode, on n'obtient qu'une approximation (sans doute trés bonne) du point cherché.

par **Billball** » 28 Mar 2010, 13:42

Ben314 a écrit:Ayant eut... quelques indisponibilitées chroniques lors des cours de physique que j'était sensé suivre, j'ai un peu du mal avec les "triangles dans tout les sens et des flèches au desus", mais je pense comprendre le fond de ce qu'il fait.
Cela correspond trés précisement à ce que proposait alavacommejetepousse, c'est à dire à une approximation :
Comme la pression au point 0 est "presque" la bonne mais un peut trop grande, on part de 0 et on se dirige dans la direction qui diminue le plus la pression de façon à tomber le plus vite possible sur un point ayant la bonne pression.
Or les directions qui augmentent/diminuent le plus une fonction numérique sont données par le vecteur gradient de la fonction et son opposé.

Bien entendu, avec cette méthode, on n'obtient qu'une approximation (sans doute trés bonne) du point cherché.

bah oué mais si on développe

:

=

donc

d'ou vient le grdient?

par **Ben314** » 28 Mar 2010, 13:58

Le gradient, c'est le vecteur de coordonnées (avec tes notations)

qui, ici, est calculé au point (0,0,0) ce qui donne

par **Billball** » 28 Mar 2010, 14:34

Ben314 a écrit:Le gradient, c'est le vecteur de coordonnées (avec tes notations) qui, ici, est calculé au point (0,0,0) ce qui donne

... le boulet!

oki merci !

par **Ben314** » 28 Mar 2010, 15:52

Tu pourra aussi vérifier (à la machine) que la solution donnée ne vérifie pas exactement la formule

et donc qu'il s'agit bien d'une approximation (ça c'est pour expliquer que ça ne colle pas franchement avec la méthode que j'avais proposé qui tente de trouver la valeur exacte...)

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