Développement en série entière

[frankyboy1994]

Bonjour à tous!

Je me demande comment développer en série entière. Le développement en série de Taylor est impossible et on ne peut pas vraiment partir de Merci!

[Ben314]

Salut,
tu n'as jamais vu le développement en série entière de avec réel quelconque ?

Si oui, utilise le, si non... essaye de le trouver à l'aide d'une des formules de Taylors (avec les dérivées n-ièmes et un reste)

[frankyboy1994]

D'accord je vais essayer avec les dérivées n ième, puisque je ne connais pas la formule phi de t, même si le dérivées vont rapidement se compliquer! Merci!

[Ben314]

D'accord je vais essayer avec les dérivées n ième, puisque je ne connais pas la formule phi de t, même si le dérivées vont rapidement se compliquer! Merci!

Justement, non : avec le , ça serait (un peu) la merde, mais avec le t tout seul, il te faut 5 minutes pour voir qui sera la dérivée n-ième et donc ce que vaudra le de la formule de Taylors.

En plus, la formule avec un quelconque et plutôt plus simple à écrire que le cas particulier dont tu as besoin (pour la racine carrée).
Tu peut aussi vérifier que (heureusement), si est en fait un entier positif, tu retombe sur la formule du binôme de Newton permettant de développer

[frankyboy1994]

Si je développe en série de MacLaurin, C1, c2, c3 etc. donnent zéro!

[Ben314]

Si je développe en série de MacLaurin, C1, c2, c3 etc. donnent zéro!

C'est justement parce que c'est plus simple avec qu'avec ta fonction où et que je t'avais incité à commencer par celle là...
Sinon, effectivement, une fois que tu aura le développement de , lorsque tu remplacera par , il est clair qu'il n'y aura que des termes en donc par exemple pas de terme en , ni en , ni en .

[frankyboy1994]

Ce que tu veux dire au fond c'est qu'il faut que je pose: x^4=t et je fait les dérivations, beaucoup plus facile, avec t et ensuite je remplace les t par x^4?

[Ben314]

Ce que tu veux dire au fond c'est qu'il faut que je pose: x^4=t et je fait les dérivations, beaucoup plus facile, avec t et ensuite je remplace les t par x^4?

Oui, et même je te suggèrerais bien aussi de "poser" , c'est à dire... de commencer par regarder les dérivées successives de (ça peut te sembler bizarre, mais tu verra que c'est plus simple avec que avec ...)

ENSUITE, tu remplacera le par et le par .

[frankyboy1994]

Ah d'accord je viens de comprendre, c'est qu'on peut écrire (1+x)^n sous la forme d'une série (le developpement du binome de Newton) et après on remplace par les valeurs de x et de n ! Mais je viens d'apprendre que mon prof a oublié d'ôter cet exercice qui n'était pas à faire lol... Mais bon merci beaucoup quand même ça m'aura appris quelque chose, de plus que je vais en actuariat à l'université, cela devrait m'être utile! Mais la formule du binome de Newton n'est elle pas seulement valide pour les nombre naturels?

[Ben314]

Ah d'accord je viens de comprendre, c'est qu'on peut écrire (1+x)^n sous la forme d'une série (le developpement du binome de Newton) et après on remplace par les valeurs de x et de n ! Mais je viens d'apprendre que mon prof a oublié d'ôter cet exercice qui n'était pas à faire lol... Mais bon merci beaucoup quand même ça m'aura appris quelque chose, de plus que je vais en actuariat à l'université, cela devrait m'être utile! Mais la formule du binome de Newton n'est elle pas seulement valide pour les nombre naturels?

Si, c'est pour ça qu'il te faut une "autre" formule dans le cas où \alpha n'est pas entier naturel.
En fait c'est trés simple : si tu dérive 3 ou 4 fois la fonction , tu voit immédiatement que la dérivée k-ième, c'est donc (aprés avoir montré qu'il y a convergence), ça te donne la série entière :

Et, si était entier, à force de faire tu finirais par tomber sur 0 donc la soit-disant série ne serait qu'une somme finie et... ç'est la formule du binôme de newton...

Aprés, je pense que si le prof à "enlevé" l'exo, ben c'est justement parce que vous n'avez pas vu la formule çi dessus en cours...

[frankyboy1994]

Une petite chose que je ne comprend pas encore est que les dérivées succesives de (1+x^4) et de (1+t)^alpha (dont on remplace alpha par 1/2 et t par x^4) ne sont pas les mêmes! à part ça tout est clair merci!

[Ben314]

Une petite chose que je ne comprend pas encore est que les dérivées succesives de (1+x^4) et de (1+t)^alpha (dont on remplace alpha par 1/2 et t par x^4) ne sont pas les mêmes! à part ça tout est clair merci!

Ici, pour donner des noms au trucs, si on écrit et , le "lien" entre les deux, c'est (jusque là, fastoche...).
Ca veut dire qu'en fait, où est la fonction .
Si tu dérive une fois , ç'est pas trop méchant : ça te fait (c'est à dire) et on voit encore bien le "lien" entre et .
Par contre, si tu dérive une deuxième fois, ça commence à être "pas beau" :
On ne voit blus trés bien de lien direct entre f'' et g''. Et ça devient de pire en pire en dérivant de plus en plus (on voit de moins en moins le lien...)
Ca explique que ce soit parfaitement normal que tu ne voit pas de "lien" immédiat entre les deux.

Et ça explique aussi pourquoi je t'incitait à chercher la série entière de (assez simple) plutôt que directement celle de : dans la série entière, tu peut remplacer le t par x^4 partout alors que si tu le fait dans les dérivées, ça ne donne pas ce qu'il faut...

[frankyboy1994]

Ok merci BEAUCOUP! Donc c'est parce que c'est une série qu'on peut substituer le t par x^4. On ne peut évidemment par juste faire les dérivées avec t et remplacer t par x^4 dans les dérivées, c'est ce que je ne comprenais pas!

[deltab]

Bonjour

Ok merci BEAUCOUP! Donc c'est parce que c'est une série qu'on peut substituer le t par x^4. On ne peut évidemment par juste faire les dérivées avec t et remplacer t par x^4 dans les dérivées, c'est ce que je ne comprenais pas!

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On n'utilise pas directement l'expression de mais le fait que et cette égalité reste valable pour leur DSE grâce à l'unicité de celui-ci. Si , alors pour , , est encore un DSE.