Développement en série entière

[girdav]

Bonjour.
Je cherche le développement en série entière au voisinage de 0 de:

N'ayant pas trouvé d'équation différentielle satisfaite par , j'essaie de trouver le développement de ses dérivées.
Pour , (le développement est plus facile dans le cas contraire).
On a alors .
On a pour
Mais je n'arrive pas, en substituant à , à trouver rigoureusement les coefficients devant les puissances de x.
Pouvez-vous m'aider à l'écrire proprement?
D'autre part, y a-t-il une méthode plus rapide pour arriver au résultat, étant donné que la fonction à développer est la fonction à intégrer dans l'intégrale de Poisson?

[Maxmau]

Bj

Essaie de faire comme suit :
La dérivée de f par rapport à x est une fraction rationnelle en x que tu peux décomposer dans le domaine complexe. Développe cette dérivée en série entière et intègre.

[girdav]

En suivant tes indications.
On a
On a alors que le polynôme admet, toujours dans le cas où , deux racines complexe conjuguées:
et
ce qui peut encore s'écrire et
puisqu'on peut supposer, quitte à prendre (ce qui ne change pas ) que .
On cherche et tels que
Je trouve .
On a alors et en intégrant:
mais
car d'où:

En fait c'est l'identité qui fait que l'on se retrouve avec des coefficients réels. (je reconnais que c'est ce qui m'avait dissuadé de poursuite après la décomposition).
Reste à trouver le rayon de convergence. Je traiterai ça plus tard.
je pense qu'il faut utiliser la règle d'Abel.
Merci Maxmau.