Determinant et produit scalaire

[Azuriel]

Bonjour. Alors je suis en train de me prendre la tete sur un truc qui pourtant à l'air facile et doit l'etre, mais je ne sais pas comment prouver ce que je dois le plus rapidement possible. Merci d'avance de m'aider, voici le probleme.

On definit la matrice carré d'ordre p G(X) associé au vecteur X=(x1,...xp) comme la matrice de terme général Gi,j=.

Montrer que det(G(x))=detG((x1,x2....,x(i-1),xi + Sum Bjxj (j different de i),x(i+1),...,xp)).

Merci d'avance de m'indiquer quel est la meilleur technique, calcul de barbare ou..car la meme avec des calculs un peu de barbare j'arrive pas a m'en sortir vraiment..et a quel moment il y a une astuce. Merci.

[tize]

Bonjour,
je pense qu'il suffit de remarquer que G(X) et G(x1,x2....,x(i-1),xi + Sum Bjxj (j different de i),x(i+1),...,xp) sont quasiment identiques, on a juste rajouté à la deuxième une combinaison linéaire (dans la ligne i) des lignes j différentes de i...
Dans ce cas le déterminant ne change pas...

[Azuriel]

Oui mais non ce n'est pas comme si on avait ajouté une combinaison lineaire des autres lignes à l'une a cause de la forme de la matrice (qui est d'ailleurs symetrique)..C'est ça qui pose probleme c'est que le fait de rajouter ce terme forme une "croix" ajouté à G(X) et donc on ne peut pas raisonner du genre

Det(G(X'))=det(C1,...,Ci+SumCj,..Cp), tu vois ? et c'est ça qui me pose probleme.

(X' étant le vecteur avec la sum en plus par rapport a X)

[tize]

Apparemment ça marche, il faut décomposer ta "croix" en combinaisons...j'ai fait ça pour p=3 mais c'est long et laborieux je trouve...une méthode élégante : je ne vois pas...

[yos]

Bonsoir.
Attention : X est pas un vecteur mais une famille de p vecteurs.
Il est clair que detG(X) est nul dés que deux des p vecteurs sont égaux (car alors G(X) possède deux lignes identiques).
Le résultat est alors facile en développant par (bi)linéarité du produit scalaire.

[tize]

Salut Yos, Merci :we: