Dérivation de polynôme niveau Spé+

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Avatar de l’utilisateur
BenoîtL-21
Membre Naturel
Messages: 24
Enregistré le: 25 Mai 2016, 09:01

Dérivation de polynôme niveau Spé+

par BenoîtL-21 » 25 Mai 2016, 09:30

(issue de l'épreuve maths1-navale1990).

Bonjour,
Soit p un nombre premier, n un entier positif.



Montrer que la dérivée p-ième de Q est un polynôme dont les coefficients sont des entiers multiples de p.

J'ai essayé par récurrence sur n. Pour n=1 c'est bon. Pour la suite je bloque sur : pour tout k de {1..p-1}, si , alors est un polynôme à coefficients entiers.

Avez-vous des idées ? Merci.



Monsieur23
Habitué(e)
Messages: 3966
Enregistré le: 01 Oct 2006, 19:24

Re: Dérivation de polynôme niveau Spé+

par Monsieur23 » 25 Mai 2016, 11:15

Aloha,

Tu peux poser . Tu as alors


Tu as alors , donc toutes les dérivées sont des polynômes à coefficients entiers, multiples de p(k-1)!.

Ensuite, applique la formule de Leibniz pour dériver Q.

(En fait, la forme de R n'importe pas, le fait que p soit premier non plus).
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »

Avatar de l’utilisateur
BenoîtL-21
Membre Naturel
Messages: 24
Enregistré le: 25 Mai 2016, 09:01

Re: Dérivation de polynôme niveau Spé+

par BenoîtL-21 » 25 Mai 2016, 22:59

Merci beaucoup pour votre réponse.
Votre raisonnement sous entend le résultat que je ne connaissais pas et que je viens de vérifier, à savoir que si P(X) est à coefficients entiers, alors est aussi à coefficients entiers.

C'est une évidence à prouver, mais je ne m'étais jamais avisé de cette propriété. Est-ce un résultat de cours classique ?
En tout cas merci, cela me permet de passer à la question suivante !
Cordialement.

Archytas
Habitué(e)
Messages: 1207
Enregistré le: 19 Fév 2012, 15:29

Re: Dérivation de polynôme niveau Spé+

par Archytas » 26 Mai 2016, 02:07

Salut,
J'ai une idée peut-être un poil plus élégante mais je suis pas sûr sur certains points.
L'idée serait de considérer Q comme un polynôme à coefficients dans .
Le problème reviendrait donc à savoir si .
Considérer Q dans ce corps a deux avantages :
Avec le théorème de Wilson on a que (p-1)!=1 mod p donc on tue le .
Ensuite les dérivées successives sont très simples à calculer. Les termes en font sortir un p quand on les dérive ce qui est très confortable puisque p=0 dans . Les dérivées successives sont donc celles de avec en facteur le reste du polynôme.
Je te laisse calculer avec ça et on trouve bien que .

Le point sur lequel je suis pas sûr à 100% c'est le fait de pouvoir se débarrasser aussi facilement du . Mais bon vu comme l'inverse de la classe de dans je vois pas ce qui nous en empêcherait.
Attends l'avis d'un autre pour y croire. En espérant avoir pu aider !

Monsieur23
Habitué(e)
Messages: 3966
Enregistré le: 01 Oct 2006, 19:24

Re: Dérivation de polynôme niveau Spé+

par Monsieur23 » 26 Mai 2016, 10:24

BenoîtL-21 a écrit:Merci beaucoup pour votre réponse.
Votre raisonnement sous entend le résultat que je ne connaissais pas et que je viens de vérifier, à savoir que si P(X) est à coefficients entiers, alors est aussi à coefficients entiers.


Je ne sais pas si c'est "classique", mais c'est effectivement relativement évident.

Archytas, j'ai l'impression que ça fonctionne. Dans Zp,
, donc il vient directement

Donc , et il vient

Par contre, je ne sais pas à quel point c'est important que p soit premier dans cette preuve (est-ce qu'elle fonctionne toujours sinon ? J'ai un doute, mais j'en sais rien).
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 20441
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Dérivation de polynôme niveau Spé+

par Ben314 » 26 Mai 2016, 16:47

Salut,
Sinon, une méthode très naturelle me semble t'il, c'est d'utiliser la formule de dérivation d'un produit :
où les sont les coefficients multinomiaux.
C'est en fait une simple généralisation de qui peut par exemple se démontrer par récurrence sur et .
Ici, ça permet de conclure immédiatement.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Archytas
Habitué(e)
Messages: 1207
Enregistré le: 19 Fév 2012, 15:29

Re: Dérivation de polynôme niveau Spé+

par Archytas » 26 Mai 2016, 23:50

Monsieur23 a écrit:
BenoîtL-21 a écrit:Par contre, je ne sais pas à quel point c'est important que p soit premier dans cette preuve (est-ce qu'elle fonctionne toujours sinon ? J'ai un doute, mais j'en sais rien).

Ma preuve est un brin plus compliquée si p n'est pas premier parce que le théorème de Wilson ne fonctionne plus mais n'étant pas au programme de Spé (à ma connaissance) il y a fort à parier que si un étudiant veux employer ma méthode il doive faire sans. De toute façon il est surtout là pour faire joli ; en gardant le (p-1)! au dénominateur il part quand on dérive successivement les X^p.
C'est un concours de prépas, le "p premier" est peut être un clin d'oeil pour suggérer à l'étudiant d'aller dans Zp ^^ j'en sais rien !

aymanemaysae
Habitué(e)
Messages: 1265
Enregistré le: 06 Sep 2013, 16:21

Re: Dérivation de polynôme niveau Spé+

par aymanemaysae » 27 Mai 2016, 17:48

Mes voeux de réussite pour tous ceux qui ont passé le CNC : vivement une grande école où le stress des préparations s'inscrira dans un trend baissier.

Comme l'exercice posé a passé plus de trois jours sur le site, et que l'initiateur du fil est - je crois - en train de résoudre d'autres exercices, j'ose indiquer un chemin vers la solution.

p un nombre entier premier et ,



donc

donc avec les



donc

=

donc

Avatar de l’utilisateur
BenoîtL-21
Membre Naturel
Messages: 24
Enregistré le: 25 Mai 2016, 09:01

Re: Dérivation de polynôme niveau Spé+

par BenoîtL-21 » 27 Mai 2016, 23:21

Bonjour,
Merci à tous pour vos idées.

@aymanemaysae : oui, c'est grosso modo la preuve que j'ai notée sur mon cahier.
... et en effet je suis passé à la suite du problème.

En ce moment je bute sur (z est algébrique) (iz est algébrique).
Sur le coup , j'ai eu l'impression que cela ne devait pas être bien difficile, mais pour le moment je sèche.
Cordialement à tous.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 20441
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Dérivation de polynôme niveau Spé+

par Ben314 » 28 Mai 2016, 02:39

Salut,
Une méthode (il y a éventuellement plus simple....) :
Montre que, si (resp. ) alors est lui aussi dans (resp. ).

Ça peut se faire très bêtement en développant le produit en question et en regardant les coeff. obtenus...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Avatar de l’utilisateur
BenoîtL-21
Membre Naturel
Messages: 24
Enregistré le: 25 Mai 2016, 09:01

Re: Dérivation de polynôme niveau Spé+

par BenoîtL-21 » 28 Mai 2016, 09:07

Bonjour,

@Ben314 : oui bien sûr !
P(iX)=R(X)+iS(X) (R(X) = + ou - les puissances paires de P, S(X) = + ou - les puissances impaires de P)
.... et P(-iX)=R(X)-iS(X) donc Q(X) = R(X)²+S(X)² convient.

Que c'est simple quand la bonne idée est sous nos yeux !
Merci Ben314 !!
Cordialement à tous.
B.L.

aymanemaysae
Habitué(e)
Messages: 1265
Enregistré le: 06 Sep 2013, 16:21

Re: Dérivation de polynôme niveau Spé+

par aymanemaysae » 30 Mai 2016, 12:05

BenoîtL-21 a écrit: En ce moment je bute sur (z est algébrique) (iz est algébrique).

z est algébrique, donc il existe un polynôme non nul tel que .
Il existe aussi tel que et avec la partie paire de P et sa partie impaire.

Soient tels que et
donc : QR un polynôme non nul appartenant à
et comme ,

donc iz est racine de QR(X), donc iz est aussi algébrique.

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 19 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite