Polynôme en l'opérateur dérivation.

[Nightmare]

Bonjour :happy3:

Je vous propose l'énoncé suivant pour ceux qui s'ennuient en vacance ! Il généralise un exercice type que tout taupin aura rencontré une fois dans sa vie.

On considère un polynôme complexe P de degré n quelconque et f une application de classe sur

En notant D l'opérateur dérivation sur , on suppose en plus que .

Trouver une CNS sur P pour qu'alors .

Amusez-vous bien.

:happy3:

[theluckyluke]

ça me fait penser à l'exo classique , montrer que en qu'on peut essayer de généraliser avec les polynômes dérivateurs....

en fait, si on considère la somme de dérivées successives pondérée avec cerrtains coefficients, soit qui tend vers 0. On prend ce polynôme en f unitaire, quitte à diviser par .

Du coup on factorise dans C, on obtient alors , ce qui donne avec l'opérateur dérivation une equation différentielle du premier ordre, donc on peut chercher à voir quand est-ce que ça marche pour (), ce qui est valable pour . On applique cela à chaque monome, qui donne une condition analogue sur les ... (?) au signe près a priori ?

[Nightmare]

Salut :happy3:

Oui effectivement, comme je l'ai dit c'est une généralisation de cet exo !

Sinon, l'idée de se ramener à une équadiff du premier ordre n'est pas mauvaise mais ce n'est pas la factorisation qui va nous permettre de faire cela.

Tu es sur la bonne piste néanmoins. Vois-tu déjà, sans parler de preuve, quelle est la CNS ?