Dérivation de polynôme niveau Spé+

[BenoîtL-21]

(issue de l'épreuve maths1-navale1990).

Bonjour,
Soit p un nombre premier, n un entier positif.



Montrer que la dérivée p-ième de Q est un polynôme dont les coefficients sont des entiers multiples de p.

J'ai essayé par récurrence sur n. Pour n=1 c'est bon. Pour la suite je bloque sur : pour tout k de {1..p-1}, si , alors est un polynôme à coefficients entiers.

Avez-vous des idées ? Merci.

[Monsieur23]

Aloha,

Tu peux poser . Tu as alors


Tu as alors , donc toutes les dérivées sont des polynômes à coefficients entiers, multiples de p(k-1)!.

Ensuite, applique la formule de Leibniz pour dériver Q.

(En fait, la forme de R n'importe pas, le fait que p soit premier non plus).

[BenoîtL-21]

Merci beaucoup pour votre réponse.
Votre raisonnement sous entend le résultat que je ne connaissais pas et que je viens de vérifier, à savoir que si P(X) est à coefficients entiers, alors est aussi à coefficients entiers.

C'est une évidence à prouver, mais je ne m'étais jamais avisé de cette propriété. Est-ce un résultat de cours classique ?
En tout cas merci, cela me permet de passer à la question suivante !
Cordialement.

[Archytas]

Salut,
J'ai une idée peut-être un poil plus élégante mais je suis pas sûr sur certains points.
L'idée serait de considérer Q comme un polynôme à coefficients dans .
Le problème reviendrait donc à savoir si .
Considérer Q dans ce corps a deux avantages :
Avec le théorème de Wilson on a que (p-1)!=1 mod p donc on tue le .
Ensuite les dérivées successives sont très simples à calculer. Les termes en font sortir un p quand on les dérive ce qui est très confortable puisque p=0 dans . Les dérivées successives sont donc celles de avec en facteur le reste du polynôme.
Je te laisse calculer avec ça et on trouve bien que .

Le point sur lequel je suis pas sûr à 100% c'est le fait de pouvoir se débarrasser aussi facilement du . Mais bon vu comme l'inverse de la classe de dans je vois pas ce qui nous en empêcherait.
Attends l'avis d'un autre pour y croire. En espérant avoir pu aider !

[Monsieur23]

Merci beaucoup pour votre réponse.
Votre raisonnement sous entend le résultat que je ne connaissais pas et que je viens de vérifier, à savoir que si P(X) est à coefficients entiers, alors est aussi à coefficients entiers.

Je ne sais pas si c'est "classique", mais c'est effectivement relativement évident.

Archytas, j'ai l'impression que ça fonctionne. Dans Zp,
, donc il vient directement

Donc , et il vient

Par contre, je ne sais pas à quel point c'est important que p soit premier dans cette preuve (est-ce qu'elle fonctionne toujours sinon ? J'ai un doute, mais j'en sais rien).

[Ben314]

Salut,
Sinon, une méthode très naturelle me semble t'il, c'est d'utiliser la formule de dérivation d'un produit :
où les sont les coefficients multinomiaux.
C'est en fait une simple généralisation de qui peut par exemple se démontrer par récurrence sur et .
Ici, ça permet de conclure immédiatement.

[Archytas]

Par contre, je ne sais pas à quel point c'est important que p soit premier dans cette preuve (est-ce qu'elle fonctionne toujours sinon ? J'ai un doute, mais j'en sais rien).

Ma preuve est un brin plus compliquée si p n'est pas premier parce que le théorème de Wilson ne fonctionne plus mais n'étant pas au programme de Spé (à ma connaissance) il y a fort à parier que si un étudiant veux employer ma méthode il doive faire sans. De toute façon il est surtout là pour faire joli ; en gardant le (p-1)! au dénominateur il part quand on dérive successivement les X^p.
C'est un concours de prépas, le "p premier" est peut être un clin d'oeil pour suggérer à l'étudiant d'aller dans Zp ^^ j'en sais rien !

[aymanemaysae]

Mes voeux de réussite pour tous ceux qui ont passé le CNC : vivement une grande école où le stress des préparations s'inscrira dans un trend baissier.

Comme l'exercice posé a passé plus de trois jours sur le site, et que l'initiateur du fil est - je crois - en train de résoudre d'autres exercices, j'ose indiquer un chemin vers la solution.

p un nombre entier premier et ,



donc

donc avec les



donc

=

donc

[BenoîtL-21]

Bonjour,
Merci à tous pour vos idées.

@aymanemaysae : oui, c'est grosso modo la preuve que j'ai notée sur mon cahier.
... et en effet je suis passé à la suite du problème.

En ce moment je bute sur (z est algébrique) (iz est algébrique).
Sur le coup , j'ai eu l'impression que cela ne devait pas être bien difficile, mais pour le moment je sèche.
Cordialement à tous.

[Ben314]

Salut,
Une méthode (il y a éventuellement plus simple....) :
Montre que, si (resp. ) alors est lui aussi dans (resp. ).

Ça peut se faire très bêtement en développant le produit en question et en regardant les coeff. obtenus...

[BenoîtL-21]

Bonjour,

@Ben314 : oui bien sûr !
P(iX)=R(X)+iS(X) (R(X) = + ou - les puissances paires de P, S(X) = + ou - les puissances impaires de P)
.... et P(-iX)=R(X)-iS(X) donc Q(X) = R(X)²+S(X)² convient.

Que c'est simple quand la bonne idée est sous nos yeux !
Merci Ben314 !!
Cordialement à tous.
B.L.

[aymanemaysae]

BenoîtL-21 a écrit: En ce moment je bute sur (z est algébrique) (iz est algébrique).

z est algébrique, donc il existe un polynôme non nul tel que .
Il existe aussi tel que et avec la partie paire de P et sa partie impaire.

Soient tels que et
donc : QR un polynôme non nul appartenant à
et comme ,

donc iz est racine de QR(X), donc iz est aussi algébrique.