Dérivabilité et continuité.

[Deluxor]

Bonjour,


Je travaille des annales de concours, et voici un exercice que j'ai partiellement traité.



Soit la fonction définie par :



1) Montrer que f est dérivable.
2) Sa dérivée est-elle continue?


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Voici ce que j'ai fait :

1) sur \{0}, s'écrit comme produit et composée de fonctions dérivables sur \{0}, avec le dénominateur qui ne s'annule pas sur cet intervalle.
Donc est dérivable sur \{0}

en 0 :



Or : -, donc :

D'où :

Donc est dérivable en 0.

Est-ce complet, juste et/ou assez bien rédigé?

2)

Faut-il montrer que : n'existe pas?


Merci d'avance!

[Luc]

Bonjour Deluxor,

félicitations pour l'effort de rédaction, ton post est agréable à lire.

Pour la 1), c'est correct, il manque juste la précision après "f est dérivable en 0".
Il y a aussi un problème pour la justification de la dérivabilité de f ailleurs qu'en 0 :
elle un peu trop longue (tu peux te contenter de "la dérivabilité est assurée comme produit de deux fonctions dérivables") et surtout, privé de n'est pas un intervalle de . Faire concis permet d'éviter les risques d'écrire des erreurs.

Pour la 2), c'est avant tout un problème de logique.
Si tu cherches à montrer que oui, f' est continue en 0, alors tu chercheras à majorer pour x proche de 0.
Si tu cherches à montrer que non, f' n'est pas continue en 0, alors il suffit de montrer que f'(x) n'admet pas de limite lorsque x tend vers 0. Pour cela, il faut savoir qu'une technique classique est d'exhiber deux suites et tendant toutes les deux vers 0, telles que et ne convergent pas vers la même limite. Vois-tu comment choisir de telles suites?

Luc