Continuité dérivabilité fonction à deux variables

[Jacky22]

Bonjour,
voici mon problème

Soit si
et f(x,y)=0 en (0,0).

a)Montrez que f(x,y) est continue.
b)Déterminer le domaine D où elle est de classe C^{1}.

Pour le a) j'ai montré que f(hx,hy)->0 lorsque h->0 ===> prolongement par continuité, donc continue?
Je ne sais pas trop comment écrire ça proprement.

Pour le b) il faut montrer que les dérivées partielles existent et sont finies où il y a t il une autre méthode?

Merci d'avance

[Anneauprincipal]

Bonjour,

a) grave erreur : on ne regarde pas f(hx,hy) mais bien f(x,y), sinon tu ne prouves que f n'est continue que quand on emprunte les droites vectorielles vers l'origine...
Tu peux faire un dl de cos(x) et sin(x) quand x tend vers 0, ça devrait marcher.
De plus, il n'y a pas d'histoire de prolongement par continuité : f est définie en (0,0), il suffit de vérifier que la limite est bien cette valeur (0 donc).


b) les dérivées partielles doivent exister et être continues pour que f soit C1. Ici pas tellement le choix, on dérive par rapport à x puis y, on regarde les endroits où on a un problème et il faut étudier à la main ces endroits : (0,0) par exemple, en ce point il faut revenir à la définition avec la limite du taux d'accroissement, et vérifier que ça colle avec la limite de la dérivée partielle en ce point, si elle existe.

[Bony]

Si on considère la fonction f(x,y) = xy / (x²+y²) alors f(hx,hy)=f(x,y) et on ne peut pas conclure quant à la continuité en (0,0) n'est-ce pas?

[Jacky22]

Merci à vous deux.

Alors voici ma réponse, je remercie quiconque veux bien se pencher sur mes réponses et me dire si c'est faux ou pas :

a) f(x,y) étant composée de fonctions continues en dehors de (0,0), elle est continue sur ]-pi,pi[xR-{0,0}. Au point de singularité (0,0), on a f(x,y)->f(0,0) lorsque x->0 et y->0 car
f(x,y)->f(0,y) lorsque x->0 en utilisant les DL en 0 de cos(x)=1-x²/2 et sin(x)=x.

b)
Pour la dérivée partielle par rapport à x :

Pareil, on utilise les mêmes arguments que le petit a), composée de fonctions continues, singularité en (0,0) et DL de cos et sin qui permet de montrer que lorsque x et y tendent vers 0.

Pour la dérivée partielle par rapport à y :

et mêmes arguments.

[Anneauprincipal]

Pour a) ok encore faut il bien écrire proprement le dl en remplaçant.

Pour b) par contre (j'ai fait de tête donc je me trompe peut-être) : df/dx n'est pas prolongeable par continuité en (0,0) car par exemple vaut +1 ou -1 suivant que x est négatif ou positif. Du coup on n'a même pas besoin de regarder le taux d'accroissement (il tend vers +1/2 ou -1/2 pour la même raison).
Bref f n'est pas pas C1 en (0,0).

[Jacky22]

Pour a) ok encore faut il bien écrire proprement le dl en remplaçant.

Pour b) par contre (j'ai fait de tête donc je me trompe peut-être) : df/dx n'est pas prolongeable par continuité en (0,0) car par exemple vaut +1 ou -1 suivant que x est négatif ou positif. Du coup on n'a même pas besoin de regarder le taux d'accroissement (il tend vers +1/2 ou -1/2 pour la même raison).
Bref f n'est pas pas C1 en (0,0).

Ok, je pense que pour bien faire il faut distinguer les limites 0+ et 0- et montrer qu'elles ne sont pas égales du coup. Ce qui montrerait bien que la dérivée n'est pas continue en (0,0).

Merci beaucoup, ça m'a bien aidé.

[Anneauprincipal]

Ok, je pense que pour bien faire il faut distinguer les limites 0+ et 0-

Oui, au sens ou on se place sur la droite y=0. Comme on n'a pas la même limite à droite et à gauche le long de cette droite, il n'y a pas de limite en (0,0) tout court.