Domaine de continuité et de derivabilité

[Rubynette28]

Salut !
J'ai un un petit soucis un peu bête, e ne sais pas comment étudier le domaine de continuité et de derivabilité de ma fonction sur un intervalle ouvert..
Je sais faire pour un point précis avec lim f(x)=f(a) lorsque x->a et avec le taux d'accroissement mais impossible de le faire sur le domaine de définition de ma fonction.
Voilà ma fonction : g(x)=(x-1)/ln x
Donc elle est définie sur ]1;+∞[ mais pour le reste je bloque ..
Merci d'avance pour votre aide !!

[capitaine nuggets]

Salut !

Soit tu reviens à la définition de continuité et dérivabilité, soit tu peux t'en sortir par des arguments classiques : que dire au niveau de la continuité et de la dérivabilité du numérateur et du dénominateur sur ?

[Rubynette28]

Merci beaucoup pour ta réponse.
Revenir à la définition c'est à dire ? Par exemple pour la continuité la définition est limf(x)=f(a) mais ca me dit qu'elle est continue en un point a ce qui ne prouve pas qu'elle est continue sur l'intervalle ...

Sinon ln x est continue et dérivable sur ]0;+∞[ et (x-1) est une fonction polynôme donc continue et dérivable sur R.
Donc le quotient des deux est continu et dérivable sur ]0;+∞[.
En faisant comme ça c'est suffisant ?

Merci !

[capitaine nuggets]

Re-Salut !

Pour ce qui est de la définition, il suffit de vérifier qu'on a bien , mais en pratique on ne l'utilise pas trop. Par contre, pour montrer qu'une fonction f est dérivable en a, il faut montrer que la limite suivante existe et est finie :

.

Attention, ici si tu veux, on a , il faut donc étudier la continuité et la dérivabilité des fonctions et .
- Sur quel domaine sont définies les fonctions et ?
- Sur quel domaine est définie ?
- Où est-elle dérivable ?
- Où est-elle continue ?

Une petite remarque, si est dérivable en un point alors est continue en ce point .

[Rubynette28]

Ah oui c'est vrai ! Ok impeccable merci j'ai tout compris

[pascal16]

je dirais qu'elle même prolongeable par continuité en 0+, et on passe à [0; +oo[ pour la continuité et sans doute ]0;+oo[ pour la dérivabilité.

le point critique x=1, où le dénominateur s'annule est à étudier (soit par l'Hopital ou par DL et passage à la limite)

[zygomatique]

salut

le quotient de deux fonctions f = u/v est continue sur tout intervalle I tel que :

u est continue sur I
v est continue sur I
v ne s'annule pas sur I

de plus si u et v sont dérivables sur I alors la formule (u/v)' = ... montre qu'alors f est dérivable sur I

montre de plus que f est prolongeable par continuité en 1

et comme il a été dit plus haut f se prolonge en 0 aussi bien sur ...