Demontrer un isomorphisme

par **Anonyme** » 26 Nov 2005, 19:35

soit S l'ensemble des suites qui verifient
U(n+3)=3*u(n+2)-4*Un
j'ai demontre que la suite est un sous espace vectoriel de R^3 mais comment demontrer que l'application f
S---R^3
U----(U0,U1,U2) est un isomorphisme

par **Zebulon** » 26 Nov 2005, 19:43

momo a écrit:soit S l'ensemble des suites qui verifient
U(n+3)=3*u(n+2)-4*Un
j'ai demontre que la suite est un sous espace vectoriel de R^3 mais comment demontrer que l'application f
S---R^3
U----(U0,U1,U2) est un isomorphisme

Bonsoir,
la suite??? L'ensemble des suites plutôt!
Ensuite, comme ce sont deux espaces de même dimension, pour montrer la bijectivité, il suffit de montrer l'injectivité...
A bientôt et bon courage,
Zeb.

par **Anonyme** » 26 Nov 2005, 20:07

oui l'ensemble des suites tu a raison.
alors qu'on comment on fait pour demontrer l'injectivite.

par **Zebulon** » 26 Nov 2005, 21:25

Montrer l'injectivité de f, c'est montrer que:

, si

), alors

, ie

.

Soient

,
si

,
alors

dans

, par définition de f,
donc

,

et

.
Maintenant tu peux montrer par récurrence sur n que pour tout

.

Bon courage et à bientôt,
Zeb.

par **Anonyme** » 27 Nov 2005, 10:37

Comment on sait qu'ils ont la meme dimension et faut il montrer que c'est un morphisme c'est a dire demontrer que f(u+v)=f(u)+f(v) pour toutes suites u et v verifaiant la relation de recurence

par **Zebulon** » 27 Nov 2005, 10:52

Bonjour,
ils ont la même dimension parce que tu as montré que S était de dimension 3 et que tu sais que

est de dimension 3.
C'est vrai, j'ai oublié qu'il fallait montrer que l'application était linéaire, ie

et

.
Mais pour montrer la linéarité de f, pas besoin de récurrence.
Pour récapituler:
1- tu rappelles que S et

sont de même dimension,
2- tu montres que f est une application linéaire,
3- tu rappelles pourquoi il suffit de montrer l'injectivité de f pour mmontrer sa bijectivité,
4- enfin tu montres que f est injective.
J'espère que tu y arriveras, et n'hésite pas à demander si tu comprends pas. :lol4:
Zeb.

par **Anonyme** » 27 Nov 2005, 11:01

Pour montrer que l'application est lineaire,est ce qu'il faut passer par la definition de la suite
U(n+3)=3*U(n+2)-4*U(n)
V(n+3)=3*V(n+2)-4*V(n)
f(u(n+3)+v(n+3)) en faosant ce calcal je suis bloquai.s

par **Zebulon** » 27 Nov 2005, 11:56

Non, pas besoin:
soient

,
alors quels sont les trois premiers termes de la suite

?
Donc, que vaut

? Et

? Est-ce que c'est égal? (souviens-toi que là, on calcule dans

).
Zeb.

par **Anonyme** » 27 Nov 2005, 12:56

les 3 premier termes de la suite de la suite (U(n)+V(N)) son U1+V1;U2+V2;U3+V3.
Donc f(U(N)+V(N))=(U1+V1;U2+V2;U3+V3).
et f(U(N)+f(V(N))=(U1,U2,U3)+(V1,V2,V3)
=(U1+V1,U2+V2,U3+V3)
=f(U(N)+V(N))
Merci si j'ai d'autre problemes sur l'exercice je recrirais d'autre message

par **Zebulon** » 27 Nov 2005, 13:01

momo a écrit:les 3 premier termes de la suite de la suite (U(n)+V(N)) son U1+V1;U2+V2;U3+V3.
Donc f(U(N)+V(N))=(U1+V1;U2+V2;U3+V3).
et f(U(N)+f(V(N))=(U1,U2,U3)+(V1,V2,V3)
=(U1+V1,U2+V2,U3+V3)
=f(U(N)+V(N))
Merci si j'ai d'autre problemes sur l'exercice je recrirais d'autre message

Oui c'est ça, sauf que je pense que tu voulais plutôt écrire

que f(U(N)+f(V(N)).
Bon travail! :++:
Zeb.

P.S.:Si tu veux utiliser LaTex, http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX est très utile!

par **Anonyme** » 27 Nov 2005, 13:18

Si tu veux voirs le devoir il est sur ce lien (puis clique sur DL,puis DL7)(EXERCICE 3)
http://mpsi.pirandello.free.fr/

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