Démontrer qu'il existe un isomorphisme

[MeollArhBard]

Bonsoir à tous,

je rencontre le problème suivant:

On munit R de la l.c.i. définie par:
a * b =

Montrer que (R, *) est isomorphe à (R, +). En déduire que (R, *) est un groupe abélien.

Je ne souhaite pas avoir la réponse mais le cheminement qui permet d'atteindre la réponse.

J'ai commencé par m'assurer que les deux ensembles sont des groupes - pas de problème.
Ensuite, j'ai posé:
f: (R, +) --> (R, *)
a --> f(a)

Si on prend a+a, on obtient a * a cad .
Je tombe sur 2a qui donne a

A partir de là, je ne vois plus comment avancer. Pourriez-vous me donner un indice s'il vous plaît ?

[tournesol]

Montre que f(a☆b)=f(a)+f(b) , puis que f est bijective .
Tu n'est pas obligé de montrer que (R , ☆) est un groupe . C'est l'existence de l'isomorphisme ( en grec : même structure) qui le démontre .

[MeollArhBard]

Je ne comprends pas d'où tu obtiens ce
Oui, je sais que qu'il faut montrer cette égalité puis la bijection. C'est la démarche qui me pose problème...

[LB2]

En fait, tournesol veut te montrer que l'on peut remarquer que

[MeollArhBard]

Je suis désolé mais je ne vois pas comment tu obtiens cela.

Si je prends deux éléments sur (R, *), admettons (a, 0), j'obtiens
Ca me donne . Je ne comprends pas comment vous obtenez .

Pour ce qui est de , l'idée c'est de jouer avec la propriété des morphismes sur les inverses non ?

Mais si tel est le cas, on cherche justement à montrer qu'il existe un morphisme pour ensuite, démontrer que celui-ci est bijectif. J'ai bien le sentiment de passer à côté de quelque chose...

[GaBuZoMeu]

Si je prends deux éléments sur (R, *), admettons (a, 0), j'obtiens
Ca me donne .

Non, là ça ne va pas. Tu obtiens juste . Ce que tu peux obtenir , c'est que si est un isomorphisme de sur , alors pour tout réel . Et plus généralement pour tout (en particulier ). Mais ça ne détermine pas .
Ce qui t'est expliqué c'est que la bijection est bien un isomorphisme de sur . Facile à vérifier, n'est-ce pas ?