Définition de la convergence normale

[ludovic44]

Bonjour,

Soit une suite de fonctions définie sur un ensemble X et à valeurs dans un evn F.

En règle générale, je trouve la définition suivante: la série de fonctions converge normalement sur X ssi la série numérique est convergente.

- Ma première question est la suivante: dans cette définition, il semblerait que le sup soit toujours définie. Quid des fonctions non bornées sur X ?

- Ma deuxième question est liée à une autre définition que j'ai pu voir dans le Kieffer: on dit que la série de fonctions converge normalement sur X ssi converge ET si bornée pour tout n>=N.

Je comprends bien que partir de n=0 ou n=N dans cette somme revient au même en ce qui concerne l'éventuelle convergence de la série numérique. Néanmoins, je ne comprends pas bien l'utilité de cette précision du caractère borné des fonctions, sachant que je ne trouve pas d'autres définitions y faisant mention.

Merci beaucoup pour vos éclaircissements... J'attaque ce chapitre après avoir "arrêté" les maths du supérieur depuis plus de 10 ans et je me rends compte que le démarrage est difficile...

[tournesol]

La première définition correspond à la convergence normale au sens strict du terme.
La deuxième definition est la converge normale à partir d'un certain rang. Elle implique que les fonctions sont bornées à partir d'un certain rang. Son intérêt :
Elle entraine la convergence uniforme à partir d'un certain rang, ainsi que les convergences ponctuelles absolues et classique À PARTIR DU RANG ZÉRO
Absolue veut dire la série de terme général est convergente.

[ludovic44]

Bonjour, merci pour votre réponse.
Désolé, je ne suis pas certain de comprendre ce que vous voulez dire par "elle implique que les fonctions sont bornées à partir d'un certain rang" à propos de la deuxième définition.

Justement, il ne semble pas s'agir d'une implication mais d'une définition: il est bien écrit dans le livre que, par définition, la série converge normalement si, en plus de la convergence de la série , les fonctions sont toutes bornées à partir du rang N.

[tournesol]

La formulation du livre est à mon avis maladroite.

[ludovic44]

D'accord, merci. J'ai regardé un peu dans le Gourdon ce qui était écrit. Pour parler de convergence normal, il suppose que les fonctions sont bornées. Ce n'est pas le cas dans le Dantzer. Est-ce un oubli ? Car, j'en reviens à ma première question, pour parler du sup d'une fonction, il faut bien que cette fonction soit bornée ?

[tournesol]

Affirmatif ludovic44 .