Décomposition

[Kyg]

Bonjour,

Je dois démontrer que tout entier non nul admet une unique décomposition de la forme où mais je ne sais pas du tout comment m'y prendre...

[capitaine nuggets]

Salut !

Cela revient à montrer que l'application définie par est bijective.

Cela utilise entre autre l'unicité du développement en facteurs premiers.

[Kyg]

Ouh la je ne connais pas du tout ces termes donc je ne vois pas comment faire...

[capitaine nuggets]

Quel que soit l'entier naturel non nul , on peut trouver une unique suite d'entiers naturels (nulle à partir d'un certain rang) telle que s'écrit sous la forme , où désigne le -ième nombre premier (par exemple, , , , ...). On appelle cela, la décomposition en facteur premier et elle est unique. La suite (a_n) étant nulle à partir d'un certain rang, on a à partir de ce même rang. En conséquence de quoi, le produit "infini" est bien défini (ou a toujours un sens si tu préfères).

Pour revenir à ton problème, tu peux montrer que :
1) grâce à ce que j'ai dit, tout entier naturel peut se décomposer sous la forme (on aura alors l'existence).
2) Si tu as alors tu as (on aura alors l'unicité).

:+++:

[Robot]

Tout entier strictement positif s'écrit de manière unique sous la forme une puissance de 2 (éventuellement ) fois un nombre impair.

[zygomatique]

salut

la fonction est strictement croissante de N dans N et donc tend vers +oo

pour tout entier n il existe un unique entier p tel que f(p) =< n < f(p + 1)

que peut-on alors dire de n/f(p) ?

[Robot]

salut

la fonction est strictement croissante de N dans N et donc tend vers +oo

pour tout entier n il existe un unique entier p tel que f(p) =< n < f(p + 1)

que peut-on alors dire de n/f(p) ?

Euh, zygomatique, ce que tu suggères ne va pas, mais alors pas du tout !

[zygomatique]

damned ... oui !!! j'ai été un peu vite dans ma réflexion ....

c'est plutôt :

pour tout entier n il existe un unique entier p tel que f(p) divise n et f(p + 1) ne divise pas n