Décomposition en éléments simples

[niko61]

bonjour

savez vous ou je peut trouver des exercice sur la décomposition de fonction en elément simple (avec correction) ?

c'est pour faire des tranformation inverse de Laplace

merci

[Nightmare]

2h ???? Ce n'est pas un peu beaucoup ? :doh:

[taziorb]

Bonjour,

excellents exercices corrigés sur la d.e.s des fractions rationnelles sur R ou C disponibles dans le livre suivant :

Xavier GOURDON
"Les maths en tête" Tome Algèbre
Ellipses
pp.70 à 75

(ce livre ainsi que le Tome analyse sont indispensables à tout bon étudiant en mathématiques !)

taziorb

[le fouineur]

Je pense qu'il est préférable de trouver une solution par ses propres moyens,quel que soit le temps mis pour y parvenir,que d' y arriver plus rapidement,mais en ayant bénéficié d'une aide extérieure.Contrairement à ce que le système éducatif nos impose de faire (c'est à dire travaller en temps limité),l' intérèt d'une découverte n'a aucun rapport avec le temps passé pour la mettre à jour.-je cite Laurent Schartz-(éminent mathématicien et auteur de la"théorie des distributions" entre autres)
Réfléchis un peu à tes propos:si le temps était toujours limité,il n'y aurait plus de place pour la recherche et on aurait jamais découvert la preuve du "Grand théorème de Fermat".Il est des exercices ou la solution est évidente pour certains et pas pour d'autres...On peut très bien passer deux heures sur un exercice et trouver la solution d'un autre en cinq minutes,tout dépend du problème à résoudre.

Cordialement le fouineur

[Nightmare]

Je pense que tu n'as pas compris ...

Effectivement, le temps passé à chercher n'a pas d'importance, mais au collège, au lycée et même encore en supérieur (un peu moins évidement), ce qu'on nous fait faire reste scolaire, qui relève du même mecanisme de recherche que l'on appelle "méthode" et que l'on nous enseigne en cours.
Le but lorsque l'on est en face d'un de ces exercices est donc bien sûr d'arriver à le résoudre, mais de le résoudre d'une manière fluide qui montre que l'on maitrise la méthode.
Pourquoi cela ? Tout simplement parce que justement lorsque l'on sera en période de recherche, on aura plus de temps à perdre devant ce genre d'exercice, le temps que l'on a en tant que chercheur on le passe sur des choses que l'on découvre, donc sur lequel on a aucune méthode, aucun mécanisme. Andrew Wiles n'a pas mis 7 ans pour démontrer le fameux théorème de Fermat pour rien, à la base une équation qui paraissait simple, mais aucune méthode pour la résoudre...

La décomposition en élément simple en l'occurence ce devrait être un mécanisme, d'où mon étonnement quant au temps passé dessus.

:happy3:

[niko61]

merci pour l'exo

j'ai essayé de le faire :)

1)
j'ai multiplier la fonction par (p²+1)
la solution de p²+1 est +i ou -i
j'ai donc remplacé p par i
et je trouve:
A = 10/8 pour la partie imaginaire
B = 10/8 pour la partie relle

2)
j'ai multiplier la fonction par (p²+2p+2)
la solution de p²+2p+2 est -1+i ou -1-i
j'ai donc remplacé p par -1+i (je suis pas sure de la métode la)
et je trouve:
C = -5 pour la partie imaginaire
D = 1 pour la partie relle

as tu la correction detaillée ?

merci

[le fouineur]

Rebonjour niko61,

Les racines des polynômes des dénominateurs sont effectivement celles que tu as trouvé mais ce n' est pas le but de l' exercice étant donné qu'on te fournit la forme de la décomposition à effectuer.Il s'agit en l'occurence "d'éléments de deuxième espèce" car les dénominateurs ont tous deux des racines complexes..
Je ne vais pas te donner la solution entière maintenant mais te fournir des indications afin d'y parvenir....
Commences par réduire au mème dénominateur les trois fractions de l'égalité de l'énoncé puis chasses les dénominateurs des deux membres.Après quoi tu devrais voir une relation apparaitre...

bon courage le fouineur

[Sdec25]

Si tu veux une correction tu peux factoriser et vérifier que tu trouve la fraction de départ, ou utiliser un logiciel qui te donne la réponse.

J'ai une autre fraction à décomposer si ça te dit (c'est moins compliqué que ça en a l'air) :

Le dégré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur donc il faudra faire une opération avant de décomposer.

[niko61]

le but n'est pas de trouver A,B,C et D ?

si oui c'est ce que j'ai fait:

[5*p]/[(p^2+1)*(p^2+2*p+2)]=[[10/8*p+10/8]/[p^2+1]]+[[-5p+1]/[p^2+2*p+2]]

Sdec25: quel logiciel utilise tu pour ça ?
connait tu la commande avec MAxima ?

[Sdec25]

C'est Maxima le logiciel dont je parlais.
Pour décomposer il y a la fonction partfrac(f(p),p);
Tu as dû faire une erreur pour les coeff A, B C, et D, je ne trouve pas les mêmes.

Quand tu auras bien compris la méthode essaie la fraction que je t'ai donnée :happy3:

[le fouineur]

Non,ce n' est pas la bonne méthode,niko61,et les résultats que tu proposes pour A,B,C et D sont faux.Pour t' en convaicre,recompose la fraction avec tes résultats et compare avec l' expression de l' énoncé,comme l' a suggéré Sdec25.
Fais comme je te l'ai dit dans mon message précédent,c'est à dire commence par réduire les trois fractions au mème dénominateur...Le début de cette méthode est comme un goulot d'étranglement:si tu ne la suis pas,il y a aucune chance d'arriver au résultat.Une fois la relation demandée obtenue,il existe plusieurs variantes que je t' exposerais...

[theorie]

puisqu'il te faut trouver 4 inconnues, il te faut, à partir de l'équation de départ, trouver 4 équations.

Une méthode bête et méchante consiste à poser p = 0, ce qui donne B + D/2 = 0
Puis poser p = 1, etc.

Moi à mon niveau (c'est à dire à BAC+1), on m'a dit de ne pas faire intervenir les nombres complexes. Parce que décomposer une fraction rationel en élément simple, me sert à calculer leur intégral. Et calculer une intégral avec des nombres complexes, c'etait pas de mon niveau...

[kazeriahm]

Ceci dit, il existe plusieurs methodes "usuelles" pour decomposer une fraction, et le fait de passer par p a valeurs complexes ne tempeche pas de retomber dans R(X) apres si tu le souhaites .En effet tu obtiendras une equation avec tes coefficients et tu naura ka identifier partie reelle et partie imaginaire.