Décomposition en éléments simple de x/(x^4+1) pour résoudre l'intégrale impropre

[Amsterdam_40]

Bonjour à tous, je dois justifier l'existence et la valeur de l'intégrale suivante :
intégrale (de 0 à +inf) (x/(x^4 + 1)
à la question précédente on nous demande de trouver les réels a, b, c et d tels que :
x/(x^4+1)= (ax+b)/(x²+x*racine(2)+1) +(cx+d)/(x²-x*racine(2) + 1)
j'ai trouvé b=racine(2)/4 et d=-racine(2)/4

Voilà ce que j'ai fait :
Pour justifier l'intégrale j'ai montré que x/(x^4+1) est équivalent à 1/x^3 pour passer par les intégrales de Riemann et donc pour prouver que cette intégrale existe..
Mais je ne vois pas à quoi nous sert la 1ère question ( décomposition en éléments simple ) pour calculer l'intégrale de x/(x^4 + 1) car ceci s'intègre en (1/2)*arctan(x²) .. qui donne Pi/4

Pouvez vous m'éclairer, s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

[fibonacci]

Bonsoir;






pour intégrer il faut faire la décomposition en éléments simples

donc



ok le numérateur x arrange bien les choses.. on trouve bien sans décomposition

[Amsterdam_40]

Je suis d'accord avec ce que vous me dites..

Mais j'ai déjà effectué la décomposition en éléments simple.

Le problème est qu'à la question suivante on nous demande :

"En déduire l'existence et la valeur de l'intégrale de 0 à +inf de x/(x^4 + 1)"

Il faut que j'intègre la décomposition en fait.. non ?

[Sa Majesté]

Il faut que j'intègre la décomposition en fait.. non ?

Oui c'est ça

[Amsterdam_40]

Je veux bien.. J'ai tapé à la calculatrice ceci:
primitive de [racine(2)/4]/[x^2 + x*racine(2) + 1] et ça me donne :
(1/2)*arctan[x*racine(2) + 1]

C'est bien beau les outils technologiques, mais je ne sais pas comment retrouver ce résultats 'à la main'.. une indication ?

[fibonacci]

Bonjour;



puis changement de variable