Corps

par **ludo56** » 25 Nov 2009, 15:52

Bonjour,

Soit p un entier premier impair. J'ai montré que le groupe des inversibles du groupe Z/(p^a)Z est cyclique (a un entier). Je l'appelle G.
Mais puisque G est cyclique il est isomorphe a Z/kZ (k dans N) et par définition de G tout ses éléments non nulles sont inversibles. Donc G un corps? (ce résultat me parait bizarre donc je voudrai savoir si je me trompe dans mon raisonnement..
Merci

par **Doraki** » 25 Nov 2009, 16:04

ludo56 a écrit:et par définition de G tout ses éléments non nuls sont inversibles. Donc G un corps?

Il me semblait que la définition d'un groupe dit que tous les éléments d'un groupes (tous) sont inversibles.
D'ailleurs qui est-ce que t'appelles élément nul de G et qui ne serait pas inversible ?
Depuis quand un groupe peut être un corps ?

A mon avis du parles du groupe des inversibles de l'anneau Z/p^aZ, sinon ça n'a pas d'intérêt.

par **Nightmare** » 25 Nov 2009, 16:06

Salut,

il n'y a rien de bizarre dans cela, ce qui manque à Z/p^aZ pour être un corps est d'avoir des éléments non inversibles. En ne prenant que les éléments inversibles on résout le problème.

par **ludo56** » 25 Nov 2009, 16:12

Oui je parle du groupe des inversibles de l'anneau Z/p^aZ.. Effectivement Nightmare vu comme cela sa n'a rien de bizarre! Merci en tout cas

par **ludo56** » 25 Nov 2009, 16:19

il y a quand même un truc que je ne comprends pas trop: si on prend que les inversible de l'anneau, on prend pas 0 .. Quel est donc le neutre pour la loi additif ?Je suppose que par isomorphisme on retombe sur nos pattes mais bon.. C'est pas clair pour moi!

par **Doraki** » 25 Nov 2009, 16:22

Le groupe des inversibles est un groupe parceque la loi de commutation interne c'est la multiplication et pas l'addition.
Si x et y sont inversibles alors x*y est inversible.

J'aimerais qu'on m'explique où est-ce que vous voyez un corps là dedans parceque y'en a pas.

par **ludo56** » 25 Nov 2009, 16:34

Désolé je ne comprends pas de quoi tu parle quand tu dit "groupe des invariant"

par **Doraki** » 25 Nov 2009, 16:42

désolé, lapsus, c'est le groupe des inversibles.

par **ludo56** » 25 Nov 2009, 16:53

Ah d'accord merci bien! Donc (G,.) isomorphe à ((Z/kZ),+). Effectivement c'est pas un corps.. Par contre peut être a t'on G isomorphe a Fk* ? (le groupe cyclique associé a un corps fini de k éléments auquel on enlève 0)

par **Doraki** » 25 Nov 2009, 17:16

Non, Fk* n'a pas le bon nombre d'éléments.

par **ludo56** » 25 Nov 2009, 17:44

Oui plutôt (Fk+1)*

par **Ben314** » 25 Nov 2009, 19:15

Bonsoir,
Fait attention, il n'existe pas de corps avec un nombre quelconque d'élément. Le cardinal d'un corp fini est forcément de la forme p^d avec d premier : il suffit de le voir comme espace vectoriel sur son "j'ai_oublié_le_nom" (l'image de Z par le morphisme Z->K ; n->n.1_K).

De plus, il me semble que das le cas p=2, le groupe des inversibles de Z/p^aZ n'est pas cyclique.

Le nombre d'inversibles de Z/p^aZ étant (p-1).p^(a-1) et le nombre d'élément non nuls du corps à q=p^d éléments étant p^d-1, j'ai peur qu'il n'y ait isomorphisme que dans le cas a=d=1...

par **Doraki** » 25 Nov 2009, 20:13

Bah ça peut arriver par exemple (Z/9Z)* est isomorphe à (Z/6Z,+) qui est isomorphe à (Z/7Z)*

par **Ben314** » 25 Nov 2009, 20:25

J'ai effectivement été un peu vite en besogne, rien ne dit que "les deux p" soient les mêmes.
As tu d'autre solutions de (p-1)p^a=p'^d-1 dans ta poche ?

par **Doraki** » 25 Nov 2009, 20:52

Ben euh... y'a les nombres premiers de la forme 2^truc+1 déjà.

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