Corps

par **jeje56** » 24 Sep 2008, 17:45

bonjour,
je dois mq R[X]/(X^2+1) est un corps
je pense qu'il faut mq (X^2 + 1) est un idéal maximal de R[X]
j'ai réussi à montrer que c'était bien un idéal mais je n'arive pas a montrer qu'il est maximal : je supose qu'il existe un idéal J de R[X] contenant (x^2+1) et je dois ariver à une contradiction qui me permeterai d'affirmer J=(X^2+1) et donc que (X^2+1) est bien maximal mais je ne vois pas cmt faire, pourriez vous m'aider ?
De plus, existe-il d'autres manières de procéder? On me demande aussi de préciser le corps, je ne vois pas...

Merci bcp d'avance !

par **abcd22** » 24 Sep 2008, 17:54

Bonjour,

jeje56 a écrit:je pense qu'il faut mq (X^2 + 1) est un idéal maximal de R[X]
j'ai réussi à montrer que c'était bien un idéal mais je n'arive pas a montrer qu'il est maximal : je supose qu'il existe un idéal J de R[X] contenant (x^2+1) et je dois ariver à une contradiction qui me permeterai d'affirmer J=(X^2+1) et donc que (X^2+1) est bien maximal mais je ne vois pas cmt faire, pourriez vous m'aider ?

Tous les idéaux de R[X] sont principaux, on a donc J = (P), comparer P et X² + 1.

De plus, existe-il d'autres manières de procéder?

Prendre un élément de R[X] qui n'est pas dans (X² + 1) et montrer que son image dans R[X]/(X² + 1) est inversible.

On me demande aussi de préciser le corps, je ne vois pas...

Un corps qui contient R, dans lequel X² + 1 a deux racines (les images de X et -X par la surjection canonique de R[X] dans le quotient), il est aussi de dimension 2 sur R

par **Maxmau** » 24 Sep 2008, 18:16

Bj

Je note P* la classe du polynôme P modulo X²+1
Si P* nest pas nul, P nest pas multiple de X²+1 et X²+1 est premier avec P.
Bezout permet de conclure.

Si on note i la classe de X, on a i² =-1
et toute classe P* s'écrit P* = a + bi avec a et b réels

par **leon1789** » 24 Sep 2008, 21:44

jeje56 a écrit:(...)
je suppose qu'il existe un idéal J de R[X] contenant (X^2+1) et je dois arriver à une contradiction qui me permettrai d'affirmer J=(X^2+1)
(...)

Pourquoi vouloir une contradiction dans une telle preuve de math ??? C'est une vraie maladie bien trop répandue de "toujours" viser une contradiction... :ptdr:

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