Corps

[jlb]

c'est x^4+2

tu regarde
F(0)=2
F(1)=F(-1)=3
F(2)=F(-2)=18
F(3)=F(-3)=(3)^4+2

ca ne fais jamais 0 du coup c'est irréductible sur F_7

oui, du coup, c'est évident, merci!! je me suis bien creusé l'esprit pour arriver à ce résultat!!

[Doraki]

Dans F7, x^4+2 = (x²+3)(x²+4)

[jlb]

Dans F7, x^4 -2 = (x²+3)(x²+4) =(x²+4)(x-2)(x+2) puisque -4=3 est un carré dans F_7 d'après loi réciprocité quadratique. Ce qui m'intéresse, c'est: un polynôme étant donnée dans Fp, existe-il d'autres critères d'irréductibilité que ceux évoqués dans les messages précédents (liste d'irréductibles, image des éléments du corps)? Existe-il d'autres méthodes de factorisations qu'à partir des racine? Merci.

[Doraki]

puisque -4=3 est un carré dans F_7

les carrés de F7 sont 0,1,2,4. Je sais pas comment t'as fait pour pas voir la contradiction entre ta factorisation qui montre que 2 et 5 sont racines de x^4+2 et ton calcul qui montre que 2 et 5 nesont pas racines de x^4+2.

[Doraki]

Désolé j'ai cru que -2 était un carré parceque 2 en était un. Ma factorisation est totalement fausse.

x^4+2 = (x²+3i)(x²+4i) dans F49.

F49* a 48 éléments, qui est multiple de 8, donc i a une racine carrée u, donc
il se factorise en (x-2u)(x+2u)(x-2iu)(x+2iu) dans F49, donc x^4+2 a une factorisation en 2 facteurs de degré 2.

Le conjugué de u est u^7 = -iu, donc u-iu est dans F7, et u*-iu = 1.
(u-iu)² = u²-2iu²+i²u² = i-2i²-i = 2, donc u-iu = +-3 (selon le choix de u)

Donc (x-2u)(x+2iu) = x²+-x+4, et donc x^4+2 = (x²+x+4)(x²-x+4)

[Doraki]

Je me suis vraiment compliqué la vie.

On parle du polynome minimal sur Q de x = sqrt2 + sqrt5.
Or mod p, x est au pire dans Fp², donc ce polynome minimal ne sera jamais irréductible mod p.

Donc mod 7, sqrt2 = +-3 et sqrt5 est dans F49.
Donc x = +- (3 + sqrt5) dans F49
On calcule (X - 3 - sqrt5)(X - 3 + sqrt5) et on trouve le facteur (X² +X+4) de X^4-2

[jlb]

bonjour Doraki, as-tu un lien où toutes ces méthodes sont expliquées? J'ai l'impression ( j'en suis la preuve!!) qu'on peut rapidement raconter n'importe quoi avec ces notions!!!) merci, en tout cas pour ces explications.

[Doraki]

On raconte n'importe quoi quand on vérifie pas ses calculs xD

Bah là il suffit surtout de bien connaitre les corps finis et leurs groupes de galois.

[wserdx]

Pour information, je mentionne les algorithmes de Berlekamp et Cantor-Zassenhaus.
wikipedia
qui factorisent les polynômes à coefficients dans les corps finis.
Bibliographie du site Magma:
biblio Magma