Corps

[zork]

Bonjour,

Voici l'exo sur lequel je bloque:
et

j'ai trouvé les polynômes minimal de de a, b et a+b

A-t-on Q(a,b)=Q(a+b)?
je pense que non car a n'est pas dans Q(a+b). En effet on ne peut pas écrire a en tant que quotient de polynôme à cause de b


Parmi ces corps, Q,Q(a),Q(b), Q(a+b) lesquels sont inclus dans les autres?
j'aurai dis que seul Q est inclus dans les autres.


merci

[Doraki]

Tu as trouvé quoi pour le polynome minimal de a+b ?

[jlb]

Voici l'exo sur lequel je bloque:
et

j'ai trouvé les polynômes minimal de de a, b et a+b

A-t-on Q(a,b)=Q(a+b)?
je pense que non car a n'est pas dans Q(a+b) . En effet on ne peut pas écrire a en tant que quotient de polynôme à cause de b TU ES SUR DE CA? Essaie de calculer [(a+b)((a+b)²-7)/2- 2(a+b)]/3

Sinon tu fais comme Doraki t'as dit, Q(a+b) C Q(a,b) et tu compares leur degré comme extension de Q
Parmi ces corps, Q,Q(a),Q(b), Q(a+b) lesquels sont inclus dans les autres?
j'aurai dis que seul Q est inclus dans les autres. Du coup non!!
tout ça est à vérifier par contre!!!


merci[/quote]

[zork]

le polynôme minimal de a+b est:
x^4-14x²+9

[Maxmau]

le polynôme minimal de a+b est:
x^4-14x²+9

Donc le degré de a+b comme extension de Q est 4 (dimension sur Q de Q(a+b) = 4)

Autre chose (méthode jlb) montre que (a+b)^3 est combinaison linéaire à coeff entiers de a et b et déduis en que a et b sont dans Q(a+b). Conclusion ?

Pour montrer que Q(a+b) = Q(a,b) la méthode Doraki me semble un peu plus compliquée

[jlb]

pas de soucis a+b annule le polynôme proposé, mais est-il minimal? cela demande de montrer qu'il est irréductible sur Q [ j'ai cherché une solution rationnelle et abouti à une contradiction, est-ce qu'il y a un chgt de variable possible pour utiliser le critère d' Eisenstein ?, merci à vous si vous avez une solution]

[Maxmau]

pas de soucis a+b annule le polynôme proposé, mais est-il minimal? cela demande de montrer qu'il est irréductible sur Q [ j'ai cherché une solution rationnelle et abouti à une contradiction, est-ce qu'il y a un chgt de variable possible pour utiliser le critère d' Eisenstein ?, merci à vous si vous avez une solution]

peut-être procéder à l'envers et déterminer d'abord le degré sur Q de Q(a,b) ? (sachant que Q(a+b)=Q(a,b) )

[Maxmau]

ou alors en factorisant complètement X^4 -14X² +9 et en regardant les cas

[zork]

le polynôme irréductible que j'ai donné est irréductible, il l'est dans F_7 donc dans Q

[Doraki]

Euuh c'est quoi ma méthode ?

Une fois qu'on sait que Q(a+b) est de dimension 4 sur Q on devrait se douter que comme il est inclus dans Q(a,b), qui est lui aussi de dimension 4 sur Q, il devrait y avoir égalité.
On prend la base (1,a,b,ab) de Q(a,b), et la base (1, (a+b), (a+b)², (a+b)^3) de Q(a+b).
Comme Q(a+b) est trivialement inclus dans Q(a,b), on sait comment écrire (a+b)^k comme combinaison linéaire de 1,a,b,ab, donc on peut écrire une matrice de passage de l'un dans l'autre.

Donc écrit cette matrice, on observe qu'elle est inversible, on l'inverse, et voilà on obtient a (et b) comme polynôme en (a+b).

[Maxmau]

le degré de Q(a,b) sur Q est égal à 4. est-ce si évident ?

[Doraki]

Il est de dimension au plus 4 puisque (1,a,b,ab) est une famille génératrice.
Et il contient Q(a+b) qui est de dimension 4.

Sous réserve que quand on calcule le polynôme minimal de a+b, on le fait sans savoir que (1,a,b,ab) est libre.

[Maxmau]

Il est de dimension au plus 4 puisque (1,a,b,ab) est une famille génératrice.
Et il contient Q(a+b) qui est de dimension 4.

Sous réserve que quand on calcule le polynôme minimal de a+b, on le fait sans savoir que (1,a,b,ab) est libre.

OK
on peut aussi montrer que le degré de Q(a,b) sur Q((a) est 2

[Doraki]

Ben ça non plus c'est pas trivial parcequ'il faut montrer que 2 n'est pas un carré dans Q(sqrt(5))

[zork]

j'essaye de montrer que "a" est dans Q(a+b) et "b" dans Q(a+b) mais je n'y arrive pas

si a,b sont dans Q(a+b) et comme Q(a+b) inclu dans Q(a,b) j'aurai Q(a+b)=Q(a,b)

[zork]

en faites c'est bon, ma question était stupide

merci de votre aide

[jlb]

pour montrer que x^4+2 est irréductible dans F_7, il y une méthode rapide ou tu as utilisé une liste?
je me posais la question, si jamais tu peux m'expliquer, je t'en remercie.

[zork]

en faites je connais le critère suivant,
on a un polynôme
tu cherches un Fp tel que p ne divise pas an puis tu regarde le polynôme : si ce polynôme est irréductible dans ce Fp alors il est irréductible ce Q

mais je me demande si cela fonctionne sur R?

[jlb]

en faites je connais le critère suivant,
on a un polynôme
tu cherches un Fp tel que p ne divise pas an puis tu regarde le polynôme : si ce polynôme est irréductible dans ce Fp alors il est irréductible ce Q

mais je me demande si cela fonctionne sur R?

oui, la justification c'est la contraposée de "si f est réductible sur Z " alors " f est réductible sur F_p" à condition de ne pas perdre le degré.

Mais tu sais comment que x^4+2 est irréductible sur F_7?

[zork]

c'est x^4+2

tu regarde
F(0)=2
F(1)=F(-1)=3
F(2)=F(-2)=18
F(3)=F(-3)=(3)^4+2

ca ne fais jamais 0 du coup c'est irréductible sur F_7