Corps

[zork]

Bonjour,

soit P dans Q[X] et a dans C
f: Q[X] dans C tel que f(P)=P(a) un morphisme d'anneau

On suppose que kerf={0}

1)Montrer que Q[a] n'est pas un corps et que Q(X) isomorphe à Q(a) où Q(..) représente le corps des fractions

Pour montrer que Q[a] n'est pas un corps j'ai utilisé le fait que si P est dans Kerf alors P=0 qui n'est pas inversible.
Mais comment montrer l'existence de l'isomorphisme entre Q(X) et Q(a)?


merci

[leon1789]

Pour montrer que Q[a] n'est pas un corps j'ai utilisé le fait que si P est dans Kerf alors P=0 qui n'est pas inversible.

Et alors ??

[ P inversible => P(a) inversible ] est une implication vraie,
mais, [ P non inversible => ???? ]


Pour démontrer que n'est pas un corps, essaie de prouver que (par exemple) n'est pas inversible : pour cela, suppose que soit inversible dans ...

[adrien69]

Sinon Q[a] est isomorphe en tant qu'anneau à Q[X] via l'opérateur f. En effet, f est un morphisme injectif et est évidemment surjectif car Q[a] est défini comme l'image de Q[X] par f.. Et comme Q[X] n'est pas un corps...

[zork]

je suppose que Q[a] est un corps, du coup a est inversible et je devrai avoir aa^(-1)=1
mais là je vois pas, je me sers pas du fait que kerf={0}

[leon1789]

je suppose que Q[a] est un corps, du coup a est inversible et je devrai avoir aa^(-1)=1
mais là je vois pas, je me sers pas du fait que kerf={0}

, donc où P est un polynôme ! Tu as donc a.P(a) = 1 ... et là tu fais intervenir le noyau...


PS. L'idée d'adrien69 est très bonne aussi.

[zork]

oui l'idée d'adrien est bien

[adrien69]

Elle est bien seulement parce qu'on sait que le morphisme est injectif, sans quoi celle de Léon a le mérite d'utiliser vraiment les objets avec lesquels on nous demande de travailler, c'est plus formateur et au vu de la confusion que tu avais faite je pense que c'est utile.

[zork]

maintenant j'ai un problème avec la suite: Q(X) isomorphe à Q(a).
j'ai essayé avec g(P/Q)=P(a)/Q(a) avec g de Q(X) dans Q(a) mais comment montrer que g est bijectif?

[adrien69]

Déjà g est mal défini.
Le plus rapide : est-ce que tu as défini le corps des fractions comme l'ensemble quotienté par une certaine relation d'équivalence ?

[zork]

oui dans la démo que j'ai du corps des fraction on a pris une relation d'équivalence défini comme suit:
(x,y)R(x',y')=(xy',yx')

[adrien69]

Donc la question qu'il faut se poser c'est "pourquoi c'est évident étant donné que je sais que Q[a]=Q[X] (modulo un certain morphisme d'algèbre) ?".

[zork]

déjà pourquoi a-t-on Q[a]=Q[X]?

sinon je sais que Q(X) inclus dans Q[X] et Q(a) inclus dans Q[a]

[adrien69]

On a Q[a] isomorphe en tant qu'algèbre à Q[X]. Pour les inclusions tu te plantes.

[zork]

c'est l'inverse pour les inclusions

[adrien69]

Tu sais définir Q(X) à partir de Q[X] et tu sais définir de la même façon Q(a) à partir de Q[a], sauf que travailler avec Q[X] c'est exactement travailler avec Q[a], donc Q(X) et Q(a) seront construits exactement de la même façon. D'où l'isomorphisme. On peut aussi le faire avec ton truc si on y met un peu de soin.