Corps

par **Mulan** » 23 Oct 2011, 16:15

Bonjour je bloque sur cet exo.

Les anneaux R[X] / (X^3 + X + 4 ) et R[X] / (X²+X+2) sont ils des corps ?
Si oui, montrer qu'ils sont isomorphes à des corps classiques.

Alors,

Un anneau A commutatif est un corps
ssi A/{0} = U(A)
ssi ses seuls idéaux sont 0 et lui même.

Et a part ca je n'ai pas d'idée.

Merci par avance

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 16:29

Bonjour, n'as-tu pas dans ton cours une partie qui parle du quotient d'un anneau par un idéal, et des conditions pour ce quotient soit un corps ?

par **Mulan** » 23 Oct 2011, 17:23

Ah oui, alors si

Soit A un anneau et I un idéal de A avec A différent de I.
A/I est un corps si et seulement I est un idéal maximum.

Il faut donc que je montrer que I est un idéal max, or R[X] est un anneau principal donc tous ces idéaux sont principaux. Et après je ne sais pas montrer que c'est max même si je connais la definition.

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 17:30

Voilà, tu es sur la bonne voie.

En effet, A/I est un corps si et seulement si I est maximal, c'est-à-dire si et seulement si le seul idéal qui contient strictement I est A. De plus, comme tu l'as dit, R[X] est principal, donc tous les idéaux sont de la forme (P), avec P un polynôme à coefficients réels. Cette propriété est importante, puisqu'elle nous dit qu'il suffit de nous intéresser aux idéaux engendrés par un élément.

Si P et Q sont deux polynômes de R[X], quelles sont conditions sur P et Q pour que (P) soit inclus dans (Q) ?

par **Mulan** » 23 Oct 2011, 19:14

x dans P alors X est dans Q

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 19:32

Non, P et Q sont des polynômes, pas des ensembles, ça n'a aucun sens de dire "x est dans un polynôme".

Je te demande quelle est la condition sur les polynômes P et Q pour qu'on ait que l'ensemble (P) = P.R[X] = {PK / K appartient à R[X]} soit inclus dans l'ensemble (Q) = Q.R[X] = {QK / K appartient à R[X]}.

par **Mulan** » 23 Oct 2011, 21:56

Merci oui, c'est ce que je comprenai mais ca bloqué sur comment le dire.
On va avoir si c'est un ideaux max noté P soit Q un autre ideau de A alors P=Q ou Q=A

par **Skullkid** » 23 Oct 2011, 22:01

Non, déjà il faut se mettre au clair sur les notations : dans la question que je te pose, P et Q ce sont des polynômes, pas des idéaux.

Ensuite, ma question n'a rien à voir avec les idéaux maximaux, et tu l'as forcément déjà vue en cours, ne serait-ce qu'en exemple, je la répète :

Si P et Q sont des polynômes à coefficients réels, à quelle condition sur ces polynômes a-t-on que l'idéal (P) est inclus dans l'idéal (Q) ?

par **Mulan** » 24 Oct 2011, 19:59

Je ne sais pas

par **Skullkid** » 24 Oct 2011, 20:20

Décris-moi les éléments de (P) et de (Q).

par **Mulan** » 24 Oct 2011, 20:34

(P) = xP si il existe x
(Q) = yP

par **Skullkid** » 24 Oct 2011, 20:39

Mulan a écrit:(P) = xP si il existe x
(Q) = yP

Ça ne veut rien dire "(P) = xP si il existe x". C'est qui x ? Pourquoi il n'existerait pas ?

Avant tout, les éléments de (P), c'est quoi comme type d'objets ? C'est des réels ? Des polynômes ? Des ensembles ? Des fonctions ?

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