Corps de nombre

[freestyle58]

Bonjour,
on me demande de montrer que K= [a+bi | a,b £ Q] est un corps de nombre.

Je sais qu'un corps est un ensemble non-vide muni d'une addition et d'une multiplication satisfaisant certains axiomes.

mais j'ignore comment montrer ca .. pouver vous m'aider svp

[abcd22]

Bonjour,
Un corps de nombre est une extension finie de Q.

[busard_des_roseaux]

Bonjour,
Un corps de nombre est une extension finie de Q.

Bonjour,

c'est quoi ?
un sur-corps de Q, Q-ev de dimension finie ?

comment ça se construit ?
comment est-ce que l'on adjoint des racines de polynômes ?

[Arkhnor]

Bonjour.

Une extension finie d'un corps K, c'est bien un sur-corps de K qui est un K-ev de dimension finie.
Pour adjoindre des racines, on quotiente : si P est un polynôme irréductible dans K[X], on montre que K[X]/(P) est une extension finie de K, et que la classe de X modulo P est une racine de P.
Le théorème de l'élément primitif montre que tout corps de nombre peut s'obtenir ainsi, avec K = Q.

[busard_des_roseaux]

ah d'accord,

il y a une injection qui envoie les fractions sur les polynômes
constants. La dite injection est en fait la surjection
canonique :zen:
elles viennent vivre sur le 1er axe de coordonnées
comme les réels dans le plan complexe

Une fois que c'est fait, elles cohabitent avec les résidus modulo (P)
des autres polynômes