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[zork]

Bonjour

f de Mn(R) dans Mn(R)
f(A)=I+A+A²

j'ai trouvé Df(A)(H)=H+AH+HA

pour montrer que f est C^1 je montrer que Df(A) est continue
||Df(A)||<=C||A||

est ce bon?


merci

[raph107]

[quote="zork"]Bonjour

f de Mn(R) dans Mn(R)
f(A)=I+A+A²

j'ai trouvé Df(A)(H)=H+AH+HA

pour montrer que f est C^1 je montrer que Df(A) est continue (df est continue et non pas df(A))
||Df(A)|| df(A) est continue et on voit bien que cette application n'est pas linéaire. D'ailleurs il n'existe pas de constante C tq ||Df(A)|| <= C||A|| et pourtant df est continue.

Utillise plutôt la définition de la continuité en un point A en calculant la limite ||df(A+B)|| quand ||B|| tend vers 0

[zork]

j'ai utilisé ta définition
mais ca me donne ||df(A+B)||=||H+AH+HA+BH+HB||
comme se sont des normes sur les matrices ||HA||+||AH||<=C||A||x||H||qui donne C||A|| car ||H||=1

et en faisant tendre B vers 0 j'arrive à majorer par 1+C||A|| mais après je fais quoi?

[raph107]

j'ai utilisé ta définition
mais ca me donne ||df(A+B)||=||H+AH+HA+BH+HB||
comme se sont des normes sur les matrices ||HA||+||AH||<=C||A||x||H||qui donne C||A|| car ||H||=1
et en faisant tendre B vers 0 j'arrive à majorer par 1+C||A|| mais après je fais quoi?

Non tu confonds df(A+B) et son image en H, df(A+B)(H)

df(A+B) = I + A+B + (A+B)² = (I + A + A²) + B + AB + BA + B²
= df(A) + B + B² + AB + BA

||df(A+B) -df(A)|| = || B + B² + AB + BA|| <= ||B|| + ||B²|| + ||AB|| + ||BA||

On sait que ||AB|| <= c||A||*||B|| donc il existe C tq
||df(A+B) -df(A)|| <= ||B|| + ||B||² + 2C||A||*||B||, qui tend vers 0 quand ||B|| tend vers 0

Rectif

J'ai été trop vite et j'ai confondu f et df, et du coup j'ai démontré que f est continue au lieu de df.
Voir la démonstartion de jlb dans le message suivant.

[jlb]

df(A+B)(H)=df(A)(H) + BH + HB

||df(A+B) -df(A)|| <= 2 ||B||

qui tend vers 0 quand ||B|| tend vers 0 (et on a en + que d²f(A)(H,K)=KH+HK)

si quelqu'un peut confirmer?

[raph107]

df(A+B)(H)=df(A)(H) + BH + HB

||df(A+B) -df(A)|| <= 2 ||B||

qui tend vers 0 quand ||B|| tend vers 0 (et on a en + que d²f(A)(H,K)=KH+HK)

si quelqu'un peut confirmer?

Je confirme en ajoutant une étape qui justifie et rectifie l'inégalité (la norme d'un produit n'est pas égale au produit des normes):
||df(A+B) -df(A)|| = sup(||HB + BH||, tq ||H|| = 1
<= sup[(||HB|| + ||BH||) <= sup(C1||H||*||B|| + C2||B||*||H||) <= 2C||B|| en prenant C = sup(C1,C2)

[zork]

ok faut faire attention c'est df(A+B). Pas de H

mais ce que je ne comprend pas c'est pourquoi ce n'est pas le genre de définition que dans la continuité des fonctions à une variable. J'aurai rajouté un dénominateur:||B|| pour avoir le même genre que f(x+h)-f(x)/h