Noyau fermé => continue

par **manu18ck** » 07 Jan 2007, 15:21

merci de m'expliqué la demonstration car celle fournie par mon prof est incompéhensible merci voici la question exacte:

soit E et F des espaces normés et f:E->F linéaire de rang fini montrer que f continue ssi ker(f) est fermé dans E

par **fahr451** » 07 Jan 2007, 15:32

Bonjour donc...

pour obtenir une réponse précise il serait souhaitable de fournir un énoncé précis

de quoi parle t on ?
application linéaire ? forme linéaire? que sont les espaces ?des evn ?

par **kazeriahm** » 07 Jan 2007, 17:37

f continue => f^-1({0}) fermé => Ker f est fermé

La réciproque demande plus de travail

par **manu18ck** » 07 Jan 2007, 22:00

merci bcp pour cette aide mé ce sens la je l'avé aussi c'est l'autre implication qui me pose problème!

par **fahr451** » 07 Jan 2007, 22:07

j'avoue ne connaitre que la démo pour f forme linéaire

par **tize** » 08 Jan 2007, 00:12

manu18ck a écrit:soit E et F des espaces normés et f:E->F linéaire de rang fini montrer que f continue ssi ker(f) est fermé dans E

fahr451 a écrit:j'avoue ne connaitre que la démo pour f forme linéaire

f de rang fini, ça ne veut pas dire que l'on peut justement considérer

et regarder l'intersection des

par **fahr451** » 08 Jan 2007, 12:43

je ne sais pas mais a priori si l intersection est fermée qu 'est ce qui garantit que chaque kerf i le soit?

par **tize** » 08 Jan 2007, 13:37

fahr451 a écrit:je ne sais pas mais a priori si l intersection est fermée qu 'est ce qui garantit que chaque kerf i le soit?

Ba...heuu...rien :triste: j'ai dit une bêtise...désolé...

par **Gary O** » 08 Jan 2007, 19:09

Je suis d'accord avec fahr, j'ai vu cet exercice plusieurs fois, mais avec une forme linéaire (il y a d'ailleurs une manière très rapide de le résoudre, en remarquant que l'adhérence de Ker f est un sev et qu'il n'y a pas de sev dont la dimension est strictement compreise entre n-1 et n).

par **mathelot** » 08 Jan 2007, 20:10

salut, je vais essayer de faire une démo:
Montrons que Kerf fermé entraine f continue.
D'abord Im(f) est isomorphe à E/ker(f). Im(f) étant de dimension finie,
E/ker(f) est un e.v de dimension finie.
1er cas:
Ker(f)={0}.
f est injective. c'est donc une bijection de E sur Im(f). E est donc de dimension finie et f est donc continue.
2ème cas:
F se factorise selon le diagramme:

où p est la surjection canonique qui à x associe sa classe

E/Ker(f) est muni de la topologie quotient.

est une application linéaire injective (par définition, on a quotienté pour ça !)
donc

est continue d'après le 1er cas.
f est continue comme composé de

et de la surjection canonique.
question subsidiaire: où utilise-t-on que Ker(f) est fermé ? je crois avoir la réponse.

par **tize** » 08 Jan 2007, 20:13

Gary O a écrit:Je suis d'accord avec fahr, j'ai vu cet exercice plusieurs fois, mais avec une forme linéaire (il y a d'ailleurs une manière très rapide de le résoudre, en remarquant que l'adhérence de Ker f est un sev et qu'il n'y a pas de sev dont la dimension est strictement compreise entre n-1 et n).

Pour une forme linéaire en dimension infinie :
Si f n'était pas continue (donc en 0) alors il existerait une suite

telle que

(il suffit de prendre les termes dont l'image est non nuls et de les diviser par leur image) ensuite il suffit de prendre

et

, on a

et

donc

n'est pas fermé.

par **mathelot** » 08 Jan 2007, 21:54

mathelot a écrit:question subsidiaire: où utilise-t-on que Ker(f) est fermé ? je crois avoir la réponse.

je me demande si Ker(f) fermé n'est pas nécessaire pour affirmer que la topologie
quotient (la plus fine qui rende la surjection canonique continue) est séparée ?

par **tize** » 08 Jan 2007, 22:01

mathelot a écrit:je me demande si Ker(f) fermé n'est pas nécessaire pour affirmer que la topologie
quotient (la plus fine qui rende la surjection canonique continue) est séparée ?

Mais on en a pas besoin pour la continuité de f ? si ?

par **mathelot** » 08 Jan 2007, 22:38

Tize,
dans ma démo de 19h10, je suis à la limite (sup) de mes possibilités. Elle a l'air de tenir la route mais je ne sais où j'utilise que Ker(f) est fermé ????

par **tize** » 08 Jan 2007, 22:41

mathelot a écrit:Tize,
dans ma démo de 19h10, je suis à la limite (sup) de mes possibilités. Elle a l'air de tenir la route mais je ne sais où j'utilise que Ker(f) est fermé ????

lol ba moi aussi... :we:...je dois avouer que je ne vois pas...si quelqu'un a une idée...

par **yos** » 09 Jan 2007, 00:15

E/kerf est un espace normé car kerf est fermé. La démonstration de mathelot est bonne.

par **mathelot** » 09 Jan 2007, 01:22

yos, je vais réfléchir à ça. Dans la classe de x, il y a tous les vecteurs de E
qui ont la même image que x. La norme sur E/ker(f) à laquelle on penserait serait alors

. Alors l'application

est une isométrie.

est donc continue.

Noyau fermé => continue

noyau fermé => continue

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