Connexité par arcs

par **ilikoko123** » 15 Oct 2015, 00:10

salut
comment peut on montrer qu'une composante connexe par arcs d'une partie ouverte est ouverte

par **L.A.** » 15 Oct 2015, 09:33

Bonjour,

tu es dans quel contexte ? (une partie ouverte dans quoi ?) Réel avec la topologie standard ou plus compliqué ?

Dans le premier cas tu peux commencer par prouver qu'une boule ouverte est toujours connexe par arcs (en t'appuyant sur la convexité par exemple). Sinon il faudrait plus de précisions puisque je présume que ce n'est pas vrai en général.

par **ilikoko123** » 15 Oct 2015, 11:32

t'a raison car ce n'est pas vrai en général, en fait c'est un ouvert de l'espace tout entier , et ça marche avec la convexité merci

d'autre part j'aimerai bien savoir comment dans un ouvert relatif ça ne marche pas

par **mathelot** » 15 Oct 2015, 11:42

il faudrait qu'on sache si l'espace est LCA (localement connexe par arcs).

par **ilikoko123** » 15 Oct 2015, 11:44

ça veut dire quoi ça LCA :hein3:

par **mathelot** » 15 Oct 2015, 11:50

localement connexe par arc

Par exemple

(x réel non nul) réunion

est connexe sans être connexe par arcs.

par **ilikoko123** » 15 Oct 2015, 11:59

ça l'air de ne pas être clair pour moi car je ne sais plus c'est quoi connexe(brievement) on l'a pas encore vu en classe

par **mathelot** » 15 Oct 2015, 12:22

une partie connexe n'est pas la réunion disjointe de deux ouverts non vides (ou de deux fermés)

par **ilikoko123** » 15 Oct 2015, 21:19

ah bon

cela a-t-il une relation avec la connexité par arcs ?

par **Robot** » 15 Oct 2015, 21:40

Un ensemble connexe par arcs est forcément connexe tout court (tout simplement parce que [0,1] est connexe et qu'un arc dans X est une fonction continue de [0,1] dans X.

par **ilikoko123** » 16 Oct 2015, 11:01

je ne peux pas dire que j'ai tout compris

si X est connexe par arcs, l'image de [0,1] par l'application continue est incluse dans X , veut tu dire que l'image continue d'un connexe est connexe ? et comment [0,1] peut il etre union de 2 fermés ou ouverts disjoints ?

par **Robot** » 16 Oct 2015, 12:49

Oui, l'image continue d'un connexe est connexe.
Dire que [0,1] est connexe, c'est justement dire qu'il n'est pas l'union de deux fermés non vides disjoints.

par **ilikoko123** » 16 Oct 2015, 13:04

ah oui j'ai confondu les choses, je vois maintenant

on a justement X CONTIENT un connexe
peut on dire qu'il est connexe ?

par **mathelot** » 16 Oct 2015, 15:15

ilikoko123 a écrit:salut
comment peut on montrer qu'une composante connexe par arcs d'une partie ouverte est ouverte

je pense que oui si l'espace est localement connexe par arcs. :doh:

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