Exercice sur la connexité par arcs et les matrice

[Le_chat]

Salut!

J'ai un exo qui est surement super connu, mais que je n'arrive pas à le résoudre:

Sur un espace vectoriel euclidien de dimension finie, E, de dimension >1, est ce que l'ensemble des symétries est connexe par arcs? I.e est ce que l'ensemble {M telles que M^2=I} est connexe par arcs?

Résoudre ce problème revient à parvenir à relier une matrice à l'identité. Malheureusement, on ne peut la rejoindre par une bête "droite", ni par des segments de droites, et je n'ai plus trop de propriétés des symétries en tête pour m'aider.

Merci d'avance.

[Le_chat]

Résolu, en fait c'est pas connexe par arcs.

[girdav]

Comme la dimension est strictement plus grande que 1, on peut écrire l'ensemble comme union disjointe de deux ouverts, puisque les matrices en question ont un déterminant qui vaut ou .
(j'aurais peut-être du actuliser la page avant...)

[raito123]

Comme la dimension est strictement plus grande que 1, on peut écrire l'ensemble comme union disjointe de deux ouverts, puisque les matrices en question ont un déterminant qui vaut ou .
(j'aurais peut-être du actuliser la page avant...)

La dimension n'y est pour rien ... on peut écrire des ensembles même dans IR comme union de deux ouverts disjoints ( ]1,2[U]3,4[ )

[girdav]

La dimension n'y est pour rien ... on peut écrire des ensembles même dans IR comme union de deux ouverts disjoints ( ]1,2[U]3,4[ )

Je n'avais pas vu le strict, ce qui autorise la dimension 1 (pour laquelle l'ensemble est la paire qui n'est pas connexe par arcs). Par contre il faut bien exclure le cas de la dimension , puis dans ce cas l'ensemble est vide.