Connexe par arcs

[kousuke]

Bonsoir , alors je cherche a demontrer que les seuls connexes par arcs de Z sont les singletons . Est ce que quelqu'un a une idèe et merci d'avance

[pascal16]

soit x et y deux nombre de Z différents

tu peux passer par un nombre du genre
t=1/(10|y-x|(|x|+1)(|y|+1))
xt+(1-t)y est-il dans Z ?

dans R :
f(t)=xt+(1-t)y sa limite en 0 étant aussi proche qu'on veut de x, ça va être dur d'avoir un différence d'au moins 1 pour rester dans Z

[edit] : c'est nul comme réponse, c'est pour du connexe classique (sauf la continuité)

[Ben314]

Salut,
On considère un "arc" à valeur dans Z, c'est à dire une fonction continue (quelconque) .
Et le but est de montrer que la fonction est forcément constante, c'est à dire que le seul point qu'on peut "relier" à un élément (en restant dans ), c'est lui même.

Et le plus simple, c'est sans doute de le faire par l'absurde : si n'était pas constante alors . . .

[LB2]

Bonjour,

on peut démontrer le résultat suivant, un peu plus fort, qui entraine facilement ce qu'on souhaite montrer.

Les parties connexes par arcs de R sont les intervalles
Les parties connexes de R sont les intervalles

le plus simple dans l'exercice est de suivre le chemin de Ben avec l'argument du théorème des valeurs intermédiaires: l'image directe d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle

[pascal16]

Dans les trucs différents qui me viennent à l'esprit mais qui passent par les m^me notions exprimées différemment.
La continuité peut être définie par des limites de suites d'un coté et de l'autre coté, les suites convergentes dans Z sont stationnaires.

[mathelot]

un espace connexe par arcs est connexe.
je propose d'affaiblir l'hypothèse