Connexité Versus Connexité par arc

par **bitonio** » 23 Oct 2007, 20:39

Salut à tous,
je me pose une petite question... Pour montrer qu'un ensemble était connexe par arc en colle j'ai montré qu'il était convexe dans R donc connexe dans R, et j'en ai déduit connexe par arc en pensant que c'était la même chose. Il semble que notre prof ait mélangé allégrement dans le cours connexe et connexe par arc, et qui n'a pas plu au colleur ^^ Quelle est la différence ?

Merci d'avance

par **yos** » 23 Oct 2007, 20:46

Bonjour.
Dans R c'est pareil. Connexe=convexe=connexe par arcs =intervalle.

par **bitonio** » 23 Oct 2007, 21:12

Et autre part que dans R, quelle est la différence entre connexe et connexe par arc ? (jai pas trouvé clairement sur le net)

par **legeniedesalpages** » 23 Oct 2007, 21:55

Bonsoir,

j'ai mon bouquin qui donne un exemple d'espace connexe mais pas par arc, mais ça doit être dur à montrer:

On prend le graphe

de l'application

de

dans

, c'est une image continue de

, donc c'est une partie connexe de

, sa fermeture

, qui est la réunion de

et de l'intervalle

est aussi connexe. Mais

n'est apparemment pas connexe par arcs.
Après je ne saurai pas te dire pourquoi.
Donc dans

, la notion de connexité et de connexité par arcs seraient différentes.

En espérant que ça t'aide.

par **legeniedesalpages** » 23 Oct 2007, 22:06

Quelles définitions a donné ton prof dans son cours de la connexité par arcs et de la connexité, et surtout sur quels objets les a-t'il défini?

par **abcd22** » 23 Oct 2007, 23:08

Il me semble que bitonio est en prépa et la connexité n'est pas au programme en prépa, il n'y a que la connexité par arcs, c'est pour ça que certains profs parlent de « connexité » pour « connexité par arcs ».

par **kazeriahm** » 24 Oct 2007, 03:10

en plus, pour un ouvert O, connexe=connexe par arcs il me semble ?!

par **yos** » 24 Oct 2007, 11:48

connexe = qui ne peut pas s'écrire comme réunion de deux ouverts disjoints non vides. (on peut mettre fermé à la place d'ouvert).
Connexe par arc = tel que deux points quelconques sont reliés par un arc continu et inclus dans l'ensemble.

L'exemple de géniedesalpages est pas dur à traiter. On peut pas relier le point O à un point de la courbe.

Autre exemple : Soit

la droite d'équation

et

le segment

. La réunion des

, des

et de l'axe des ordonnées donne une partie connexe et pas connexe par arcs.

par **bitonio** » 24 Oct 2007, 17:31

Merci :) Effectivement je suis en prépa MP et nous avons défini la connexité par arc dans le cadre de deux points joignables par une application continue...

Merci à tous pour vos explications.

par **busard_des_roseaux** » 24 Oct 2007, 20:32

bjr,
concernant la courbe de la fonction

pour

Son graphe est connexe car c'est l'image dans R^2 de l'intervalle
(connexe) ]0;1] par la fonction

l'adhérence de son graphe est connexe (thm de topologie générale: l'adhérence d'une partie connexe est connexe). Pour obtenir l'adhérence du graphe,
on rajoute le segment de l'axe y'oy : [-1;1].

Si l'adhérence était connexe par arc, un arc joignant un point du graphe
à un point de l'axe y'oy serait rectifiable.
Or la longueur d'arc correspondante serait de même nature que
l'intégrale

qui est une intégrale divergente.

En gros, les arcs joignant un point du graphe à un point de l'adhérence, sur l'axe y'oy sont de longueur infinie.

Un argument qui n'utilise pas la différentiabilité:
La fonction

ne vérifie pas le critère de Cauchy à droite de zéro:

ce qui interdit un arc continu joignant un point de la courbe
à un point de l'adhérence sur l'axe y'oy.

Connexité Versus Connexité par arc

Connexité Versus Connexité par arc

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