Complétude de l'espace L^1(R) pour différentes normes

[Berjito]

Bonjour,
On considère sur R muni de la tribu Borélienne B(R) et de la mesure de Lebesgue la fonction E(x)=exp(-x^2) et la mesure définie par
pour tout .
On définit la norme N sur L^1(R) par .
J'ai vérifié que \mu définit bien une mesure sur (R, B(R)) et N une norme sur L^1(R) mais je n'arrive pas à montrer que (L^1(R), N) est complet.
On a pour (f_n) une suite de Cauchy de (L^1(R), N), l'inégalité

mais je n'arrive pas à voir pourquoi la suite de Cauchy (f_n) pour la norme N serait aussi une suite de Cauchy pour la norme || ||_1 de L^1(R).

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