Compacité de l'image d'une suite

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Guigui1Pierre
Membre Naturel
Messages: 60
Enregistré le: 30 Sep 2019, 19:35

compacité de l'image d'une suite

par Guigui1Pierre » 08 Avr 2021, 13:04

Bonjour,

Soit E un ev normé de dim quelconque
Soit u une suite de E et soit l dans E tel que u converge vers l.
La réunion de l'image de u et {l} est-elle compacte? Si oui, pourquoi?



hdci
Membre Irrationnel
Messages: 1610
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: compacité de l'image d'une suite

par hdci » 08 Avr 2021, 13:30

Bonjour,

L'argument que je vous ai donné sur "exemple d'une sous-suite extraite convergente" dans ce post
https://www.maths-forum.com/superieur/compacts-t230859.html
devrait vous inspirer pour répondre à la question.

Les termes de toute suite de sont soit I soit l'un des u(n). si I est valeur d'adhérence de la suite vous avez le résultat. Sinon, le fait que u converge vers I doit vous orienter vers l'ensemble des valeurs prises par u... donc vers la possibilité d'extraire une sous-suite convergente.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Guigui1Pierre
Membre Naturel
Messages: 60
Enregistré le: 30 Sep 2019, 19:35

Re: compacité de l'image d'une suite

par Guigui1Pierre » 08 Avr 2021, 14:06

même si E est de dim quelconque?

hdci
Membre Irrationnel
Messages: 1610
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: compacité de l'image d'une suite

par hdci » 08 Avr 2021, 15:27

Faites le raisonnement que j'indique.
Puis posez-vous la question : "ai-je utilisé le critère de dimension ?"

La définition d'un compact ne fait pas appel à la dimension : un compact est un ensemble tel que de tout recouvrement d'ouverts on peut extraire un recouvrement fini. Puis dans un espace métrique, on caractérise un compact par le fait que de toute suite on peut extraire une suite convergeant dans l'ensemble.

Le critère de dimension n'apparaît que dans les espaces vectoriels normés qui sont des cas particuliers d'espaces métriques ; et alors dans un evn de dimension finie les compacts sont les fermés bornés, mais ce n'est plus vrai en dimension infinie. Mais ce n'est qu'une propriété dans les evn.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Guigui1Pierre
Membre Naturel
Messages: 60
Enregistré le: 30 Sep 2019, 19:35

Re: compacité de l'image d'une suite

par Guigui1Pierre » 09 Avr 2021, 11:29

je n'ai pas encore vu les recouvrements (je connais juste la déf de "compact" en utilisant les suites extraites).

J'ai bien compris votre démo de " {1/n ; n dans IN}U{0} est compact " .
Mais je n'arrive pas à la transposer pour montrer que u(IN)U{l} est compact.

Guigui1Pierre
Membre Naturel
Messages: 60
Enregistré le: 30 Sep 2019, 19:35

Re: compacité de l'image d'une suite

par Guigui1Pierre » 09 Avr 2021, 12:41

D'accord, j'ai compris.
Si l n'est pas une valeur d'adhérence, on peut extraire une suite d'éléments d'une partie finie de u(IN)U{l}. On extrait alors de cette suite une suite constante à partir d'un certain rang, donc convergente dans u(IN).

hdci
Membre Irrationnel
Messages: 1610
Enregistré le: 23 Juin 2018, 18:13

Re: compacité de l'image d'une suite

par hdci » 09 Avr 2021, 15:37

C'est bien cela.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 23 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite